Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
t (х, у) = t0 + h cos 2яг]г/,
(5.18)
ДИФРАКЦИЯ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
123
являющееся периодической функцией от у с пространственной частотой г), a t0 и — вещественные постоянные г). [Предполагается, что t (х, у) — вещественная функция, т. е. транспарант не вносит фазового сдвига.] Непосредственно за транспарантом амплитуда волны а (х, у, 0) равна произведению амплитуды падающего света (z1 и пропускания t:
а(х, у, 0) = а^(х, y) = a1tQJraiticos2n'Y]y =
1 1
= <Мо + Y aitl ехР + y^i ехр (— 2лщу). (5.19)
Заметим, что второй член в (5.19) и решение (5.12) волнового уравнения одинаково зависят от ху, если в (5.12) ? = 0, а г] < 0. Поэтому можно считать, что второй член описывает плоскую волну, которая распространяется параллельно плоскости yz (т. е. перпендикулярно оси х, а = 90°), и направление ее распространения образует отрицательный угол G2 с осью z (фиг. 5.3), поскольку, согласно (5.146), sin 02 = Кг\. Аналогично третий член (5.19) описывает плоскую волну, которая также распространяется параллельно плоскости yz, образуя при этом с осью z положительный угол G2 (фиг. 5.3). Первый член в (5.19) не зависит от ху [в (5.12) этому соответствует ? = г) = 0] и описывает плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси z. Итак, при падении плоской волны, распространяющейся вдоль оси z, на транспарант с синусоидальным в направлении у амплитудным пропусканием за транспарантом возникают три плоские волны: первая, с амплитудой a^Q, распространяется вдоль оси z (недифрагированная волна); вторая, с амплитудой a^tJ2, распространяется в плоскости уz вниз от оси z, образуя с осью z угол I G2 I = arcsin(?iT|) (дифрагированная волна —1-го порядка); третья, с амплитудой а^/2, распространяется в плоскости yz вверх от оси z, образуя с осью z такой же угол | G2 | (дифрагированная волна + 1-го порядка).
Мы рассмотрели один из важных случаев дифракции. Транспаранты с периодическим распределением амплитудного пропускания называются дифракционными решетками. В большинстве случаев голограмму можно рассматривать как транспарант с периодически промодулированным амплитудным пропусканием. Поэтому можно ожидать, что голограмма будет воздействовать на падающий свет примерно так же, как обычная дифракционная решетка.
г) Как следует из (4.3) и (4.4), понятие пространственной частоты применимо к синусоидальной составляющей пространственного распределения любой физической величины, например пропускания или отражения, а не только к распределению комплексных амплитуд света. Пространственная частота синусоидальной составляющей в 2зт раз меньше скорости пространственного изменения фазы данной составляющей в выбранном направлении.
124
распространение и дифракция света
ГЛ. 5.
Продолжим рассмотрение дифракции плоской волны на помещенном в плоскости Z = O транспаранте с синусоидальным амплитудным пропусканием t (х, у) и определим комплексную амплитуду света в плоскости ху при z = d. Непосредственно за транспарантом возникают три плоские волны, комплексные амплитуды которых в плоскости z = 0 описываются выражением (5.19). G помощью (5.17) можно определить комплексные амплитуды этих волн при z = d. Результирующая комплексная амплитуда при z = d является их суммой и имеет вид
а (я, у, d) = ехр ^_jJ^j +
+ і afr ехр (і2пцу) ехр [ — і ^ (1 -X2X?)'^ +
+ Ia1J1 ехр ( — іїкцу) ехр [ — і ^ (1 — A2T12)172]. (5.20)
[Первый член (5.20) получается из (5.17) при г] =0, а второй и третий при ? = 0. ] Поскольку зависящие от z показатели экспонент, взятые в (5.20) при z = d, являются мнимыми, каждый из трех членов в (5.20) описывает распространяющуюся волну. Однако для некоторых длин волн X показатели экспонент становятся вещественными. При Л-т] —1 угол дифракции O2 = arcsin Xr) увеличивается, приближаясь к 90°. Для больших значений длин волн, удовлетворяющих неравенству
Х2ц2 > 1, (5.21)
выражение (1 — X2Ti2)1/* становится мнимым. Если взять отрицательный знак перед корнем, то экспоненциальный множитель принимает вид
ехр [-iy(-i) (X2T]2 —1)1/2J = ехр (—bd), (5.22)
где Ъ имеет положительное и вещественное значение. В этом случае второй и третий члены в (5.20), соответствующие первому порядку дифракции, будут описывать поверхностные волны — волны, распространяющиеся вдоль поверхности транспаранта и затухающие по экспоненте с увеличением расстояния от нее. (Выбор знака, таким образом, соответствует физически реализуемому явлению.) Если неравенство (5.21) записать в виде X > 1/т], то видно, что поверхностные волны возникают при падении на решетку света, длина волны которого больше периода решетки 1/г]. Их амплитуда является функцией расстояния d от решетки и при d ^> X стремится к нулю [см. (5.22)]. Условие затухания волн, выраженное через пространственные частоты, может быть записано в виде г] > ИХ. Таким образом, в распределении поля на расстоянии d^> X от транспаранта не содержится никакой информации о его пространственных частотах, превышающих ИХ.
ПОСТАНОВКА ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ О ДИФРАКЦИИ
125
§ 4. Постановка общей задачи о дифракции
