Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
ФИГ. 6.2.
Простейшая оптическая система, выполняющая преобразование Фурье.
Выберем координатную область и воспользуемся соотношением (5.33); тогда комплексная амплитуда а2 (х2, у2) в плоскости z = / запишется в виде
а2 (? Уг) = -JJ j j *t (ач, у{) X
X ехр |— [Oz2-^i)2 + (г/2 — г/1)2]} UxxUy1 =
X ехр g- [(X2-X1)2+ (у2-у^]} dx.dy,. (6.18)
Здесь интегрирование производится по всей поверхности линзы. Упрощая выражение (6.18), получаем
а2 (х29 Уг) = Щ- j J t (хи у і) X
X ехр [-g. ^x1X2 + 2уіУ2 - х\ - у\)] dx, dVi. (6.19)
138
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ CO СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ 6.
Поскольку интеграл берется в плоскости X1]J1, можно вынести из-под знака интеграла множитель, зависящий только от х2 и у2; это дает
а2(*2, у2) = -^"ехр[—+ X
j j t(xt, Уі) exp ^ 1^j {X1X2 + Zy1Iy2)] ^1^1. (6.20)
X
Если положить
Л = ^ (6-22)
и подставить эти выражения в (6.20), то комплексную амплитуду при z = f можно представить в виде
а2(#2, Zz2)ехр [— ^.(хі + уі)^ X
X j j t (X1, Zz1) ехр [і2п (X1I+ ZZ1Ti)] Ac1 ^1. (6.23)
В интеграле (6.23) легко узнать двумерное преобразование Фурье при условии, что функция t Or1, Zz1) равна нулю за пределами поверхности линзы. Последнее условие позволяет расширить пределы интегрирования до +°° и —оо, что и требуется для преобразования Фурье. Множитель, стоящий перед интегралом, пропорционален пропусканию, которое может быть приписано тонкой рассеивающей линзе с фокусным расстоянием —/, помещенной в плоскости z = /. Экспонента представляет собой фазовый множитель сферической волны. В данном случае он описывает распределение фазы в плоскости ^2ZZ2, которую пересекает сферическая волна, расходящаяся от расположенного на оси источника. Итак, мы можем заключить, что если на тонкую линзу с примыкающим к ней транспарантом падает плоская волна, то в задней фокальной плоскости линзы образуется распределение комплексных амплитуд, пропорциональное произведению фазового множителя сферической волны и фурье-образа пропускания транспаранта.
Выражения (6.21) и (6.22) являются определениями, связывающими пространственные частоты ? и г] света, дифрагировавшего на транспаранте, с координатами (х2, у2) формирующегося в фокальной плоскости линзы фурье-образа пропускания транспаранта. Этим выражениям, безусловно, можно придать вид, эквивалентный определениям пространственных частот в гл. 5. В приближении малых углов, которое согласуется с приближениями, принятыми выше, можно применять исходные выражения (5.14а)
ПРОСТЕЙШАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
139
и (5.146) для и п. Последнее утверждение иллюстрируется фиг. 6.3, где в соответствии с (5.146) плоская волна, испытавшая дифракцию на транспаранте и распространяющаяся под углом 6 к оси z, характеризуется пространственной частотой и = (sin Q)/X. Луч, проходящий через центр линзы без отклонения (в случае тонкой линзы), в фокальной плоскости х2у2 встречается с преломленными лучами на расстоянии -\-у2 от оси z. Для малых углов
У. V к У г
ФИГ. 6.3. Геометрическая схема, поясняющая
соотношение между пространственными частотами и координатами фокальной плоскости.
имеем y2lf sin 9 = vtX, поэтому V1 « уJXf. Аналогичные
соображения справедливы для | и х2.
В § 3 мы видели, что пространственные частоты картины, возникшей в результате дифракции света на предмете, являются пространственными частотами двумерных фурье-компонент предмета. Поэтому если известна максимальная пространственная частота предмета, то с помощью (6.21) или (6.22) можно вычислить максимальную протяженность его фурье-образа, сформированного в задней фокальной плоскости данной линзы. Рассмотрим численный пример только для одной координаты. Положим максимальную пространственную частоту предмета равной умеренной величине I ?макс I = 10 мм"1; кроме того, примем, что / = 500 мм, а X = 0,5 мкм = 5-Ю"4 мм. Тогда максимальная протяженность фурье-образа в положительном направлении оси х получается весьма малой: х2, макс = 2,5 мм.
В некоторых случаях, когда важна только интенсивность света, эффекты, обусловленные наличием фазового множителя сфериче-
140
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ CO СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
ской волны в (6.23), не играют роли. В других случаях от них стараются избавиться. Для этого в плоскости z = f помещают собирающую линзу с фокусным расстоянием /. Из (6.15) и (6.23) очевидно, что сразу за этой второй линзой мы получим фурье-образ, не содержащий фазового множителя сферической волны. Оптическая система, выполняющая такое преобразование, изображена на фиг. 6.4.
Вернемся к рассмотрению системы, показанной на фиг. 6.2, полагая при этом, что транспарант совершенно прозрачен, т.е. t (#i, Ui) = 1- Тогда амплитуда в плоскости z = f в соответствии с (6.23) будет равна
а2 (х2, у%) = ехр [ ( - -g-J (х\ + у\) ] X
X И ехр [і2л (X1I + ZZ1Ti)] dxi dyi. (6.24)
I V I
Y I
J \ I
*-1 —-
ФИГ. 6.4. Оптическая система, выполняющая точ-
ное преобразование Фурье. Линзы Li и L2 имеют одинаковые фокусные расстояния /.
Допустим, что линза имеет неограниченные размеры; тогда пределы интегрирования можно распространить до бесконечности и интеграл будет представлять собой фурье-образ единицы. Из соотношения (4.30) при с=0 следует, что интеграл равен б (?) «б (r\) = = б (I, Tj) = б (X2IXf, y2IXf) и обращается в нуль всюду, кроме х2 = у2 = 0. Тогда (6.24) принимает вид
