Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
м^ыЧт?И?»&); (6-25)
ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА
141
мы видим, что падающая на линзу с положительным фокусным расстоянием / плоская волна сходится в математическую точку, лежащую в плоскости, удаленной от линзы на ее фокусное расстояние. Тот факт, что фокальным пятном линзы оказалась математическая точка, обусловлен сделанным нами допущением о неограниченности размеров линзы. Линза конечных размеров образует протяженное световое пятно с центром в точке с координатами х2 = У2 = 0- Влияние конечных размеров линзы будет рассмотрено в § 4 настоящей главы.
§ 3. Оптическая система более общего вида
Кроме систем, изображенных на фиг. 6.2 и 6.4, существуют и другие оптические системы, которые могут выполнять преобразование Фурье. Это станет очевидным после того, как мы рассмот-
і У 2 J
" ) I
2 і
ФИГ. 6.5. Оптическая система более общего вида.
Линза имеет фокусное расстояние /.
рим оптическую систему более общего вида. В этом параграфе мы выведем не только условия формирования фурье-образа, но и условия формирования изображения. Рассматриваемая система показана на фиг. 6.5. Сферическая волна падает на транспарант с комплексным амплитудным пропусканием t (X1, у,). Радиус кривизны волны равен d1, т. е. волна расходится из точки, удаленной на расстояние d1 влево от транспаранта t (X1, у{). На расстоянии d2 справа от транспаранта помещена сферическая линза с фокусным расстоянием /. Наша задача — определить комплексную амплитуду волны в плоскости, находящейся на расстоянии <23 справа от линзы.
142
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6.
Для решения задачи воспользуемся приближенной формулой (5.33) (свертка в координатной области), описывающей распространение волны в свободном пространстве, и приближенной формулой пропускания линзы (6.15). Анализировать прохождение света через оптическую систему, состоящую из свободного пространства и линз, было бы проще с помощью одних только мультипликативных форм, однако легко убедиться, что это невозмояшо. Действительно, если для описания распространения волны в свободном пространстве мы выберем область пространственных частот, то можем воспользоваться мультипликативной формой (5.28). Однако выражение (6.17), описывающее прохождение света через линзу, имеет мультипликативную форму в координатной области, и в области пространственных частот мы должны заменить его сверткой. Если же выбрать в качестве исходной координатную область, то получим, что выражение для распространения света в свободном пространстве имеет форму свертки, а для прохождения через линзу — мультипликативную форму. Выбор может быть сделан произвольно, и мы проведем рассмотрение в координатной области.
Анализ системы, изображенной на фиг. 6.5, включает в себя две операции умножения и две операции свертки. Для упрощения записи мы воспользуемся обозначениями операций и допущениями, введенными Вандер Люгтом [6.2]. Это наиболее краткая и удобная форма записи уже выведенных нами соотношений.
1. Форма записи операций
Из равенства (6.14) следует, что тонкая линза является транспарантом, пропускание которого описывается формулой
g (ж, у) = ехр [|f (*»+ »»)]. (6.26)
Функция g (х, у) по форме очень похожа на функцию h (х, г/), определяемую выражением (5.34). Эта функция, которая подвергается свертке с входным пропусканием, если распространение волн в свободном пространстве рассматривается в координатной области, имеет вид
ь(*,у) = і«р[-?(*+ї,«)]. (6-27>
Основываясь на сходстве выражений (6.26) и (6.27), можно ввести функцию:
ф (х, у; р) = ехр [ (х* +1/2)] , (6.28)
где р — произвольный параметр. Тогда для описания прохождения волны через сферическую линзу с фокусным расстоянием
ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА
143
/ комплексную амплитуду света, падающего на линзу, нужно умножить на if* (х, у; F). Звездочка обозначает комплексно-сопряженную величину, и
F = j. (6.29)
Волна, прошедшая в пространстве расстояние й, описывается сверткой комплексной амплитуды и выражения (ilX) D •ty (х, у; D), где х)
Z) = I. (6.30)
Приведем ряд свойств функции if (х, у; р), которые в дальнейшем будут нам полезны. В справедливости следующих равенств можно убедиться подстановкой выражения (6.28):
if Cr, у; р) = if* (х (6.31)
if (—X, —у; р) = if Cr, (6.32)
^ (х, у; Pi) if Cr, у; р2) = ^f Cr, У, + Рг), (6.33)
^ Cr, у; Pi) if* (х, у; р2) = if (х, г/; Pi — Р2) = (6.34)
= if* (х , у; Pi — Р\).
яр (сх, су; р) = if (х, У\ с2р), (6.35)
if (х — и, г/ — V] р) = if (ж, г/; р) if (и, у; р) ехр (их+ vy)] . (6.36)
Соотношение
if* (ж, у; 0) = 1 (6.37)
выражает тот факт, что линза с бесконечно большим фокусным расстоянием не изменяет распределения амплитуд поля, падающего на нее.
Применим приведенную форму записи к анализу оптической системы, изображенной на фиг. 6.5. Расходящаяся сферическая волна, падающая на помещенный в плоскости P1 транспарант t (хі, у і), описывается функцией if Or1, Уі; D1) [см. обсуждение выражения (6.23)]. Амплитуда света, прошедшего через транспарант, выражается произведением
