Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
У
ФИГ. 4.2. Двумерная синусоидальная функция
с периодом Л и пространственными частотами ? и г].
в синусоидальный сигнал той же частоты на выходе. Синусоидальная двумерная функция показана на фиг. 4.2. Такая зависящая от X и у функция с периодом Л описывается формулой
—> ->
а ix-> Jj)=1A (и» Л) cos 2л ( — J , (4.3)
где А (п, Л) — амплитуда косинусоидальной функции; г = ix + ¦+ ІУ — радиус-вектор; і и / — единичные векторы в направлении
осей X ж у, а тг — единичный вектор в направлении, соответствую-
—> —> ->
щем периоду Л. Из фиг. 4.2 видно, что п = і cos а + / cos ?; тогда
а (ж, у) = А (?, г)) cos 2я (%х + цу), (4.4)
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ Ю1
где пространственные частоты
g _ cos а _cos ?
есть величины, обратные пространственным периодам, измеренным по осям хжу соответственно. Вещественную функцию а (х, у) можно представить в виде Re [а (х, у)] (гл. 1, § 3), где а (х, у) — комплексная величина, и затем использовать в расчетах величину а (х, у), опуская символ Re. Тогда получим
а (х, у) = А (?, г]) ехр [—2ni (%х + r\y)] =
= А (?, г]) ехр (—2ni%x) ехр (—2 піцу). (4.5)
Таким образом, для линейной пространственно-инвариантной системы выходная функция b (х, у), соответствующая входной функции а (х, у), имеет те же пространственные частоты, что и а (х, у), и
Ь (ж, у) = S (?, г]) А(?, г])ехр (—2ni%x) ехр (—2кщу), (4.6)
где S (?, T)) — частотная передаточная функция (см., например, 14.1]).
Это простое соотношение между входной и выходной синусоидальными функциями показывает, что для описания линейной пространственно-инвариантной оптической системы может служить частотная передаточная функция S (?, т)). Обычно входные функции оптических систем не являются синусоидальными, но в соответствии с (4.1) и (4.2) их можно разложить по синусоидальным функциям с помощью прямого и обратного преобразований Фурье:
А (?, T]) = J ja (х, у) ехр (2m?r) ехр (2nir\y) dx dy
— OO —OO
И
OO OO
а (#» У) = j \ & (I, т]) ехр (— 2я?%г) ехр (— 2пщу) dldv\.
— OO —OO
Функцию А (?, T]) часто называют спектром функции а (х, у). Предположим, что в формуле (4.2) а (х, у) является входной функцией линейной пространственно-инвариантной системы, и нас интересует выходная функция b (х, у). В соответствии с (4.6) мы должны каждую фурье-компоненту умножить на соответствующую частотную передаточную функцию S (?, т]). Выполняя эту операцию, получаем следующее выражение для выходной функции
102
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
b (х, у):
OO OO
ъ(х> У)= j j А(?> 1H)S(S, rj)exp( — 2яі&г)ехр ( — 2шт]у) d? dT).
— OO —OO
(4.7)
Из формулы (4.7) следует, что выходная функция линейной пространственно-инвариантной системы есть фурье-образ произведения спектра входной функции на частотную передаточную функцию. Выражая тот же результат через пространственные частоты (в пространстве Фурье), получаем, что спектр выходной функции линейной пространственно-инвариантной системы равен произведению спектра входной функции на частотную передаточную функцию, т. е.
B(E, T1) = A(E, T1) S(g, и). (4.8)
§ 2. Формулы соответствия и преобразования Фурье
Формула (4.8) устанавливает связь между входным и выходным сигналами линейной пространственно-инвариантной системы посредством операции умножения в области пространственных частот. Как мы увидим, в координатной области тоже существует операция, определяющая связь между входным и выходным сигналами. Такое соответствие между операциями в двух областях обусловлено общими свойствами преобразования Фурье; можно было бы привести много других подобных примеров. Вообще говоря, существует два типа соответствий между частотной и координатной областями. К первому типу относится соответствие операций. Каждой операции в координатной области, например сложению или умножению двух функций, соответствует операция в области пространственных частот, причем не обязательно совпадающая с операцией в координатной области. Ко второму типу соответствий относится соответствие функций. Каждой функции в координатной области соответствует другая функция в частотной области. (Существуют такие нерегулярные функции, которые не имеют фурье-образов, но мы их здесь не рассматриваем.)
Хотя входные и выходные функции оптических систем обычно являются двумерными, основные задачи оптики часто могут быть рассмотрены с помощью одномерного анализа. Это упрощает математические выражения и графическое представление. Кроме того, двумерную функцию, записанную в соответствующей системе координат, часто можно представить как произведение двух одномерных функций. Фурье-образ такой функции равен произ-
ФОРМУЛЫ СООТВЕТСТВИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
103
ведению фурье-образов двух одномерных функций. Прямое и обратное фурье-преобразования одномерной функции имеют вид
OO
A (E) = j а (х) ехр (2ni%x) dx, (4.9)
— OO OO
а(х)= J А(|)ехр(—2nilx)dt (4.10)
— OO
Некоторые функции, являющиеся двумерными в прямоугольной системе координат, могут быть представлены как одномерные в полярной системе координат. Примерами таких функций, интересных для голографии, являются функция Гаусса и функция круговой апертуры. Функцию Гаусса ехр (— ngr2), где g — постоянная и г2 = х* + г/2, можно представить как произведение
