Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
4.10*. ПАПУЛИС А., Теория систем и преобразований в оптике, изд-во «Мир», 1971.
4.11*. СОРОКО Л. M., Основы голографии и когерентной оптикиг M., 1971.
Глава 5
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
При получении голограммы на пути света, испущенного источником, приходится помещать различные препятствия. Ими могут быть светоделители, зеркала, микрообъективы, линзы, диафрагмы, а также объект голографирования и фотопластинка. Каждый из этих элементов по-своему воздействует на световой пучок. Так как их размеры конечны, то они оказывают влияние лишь на часть пучка, вызывая потери оптической информации.
Дифракция на препятствиях не является единственной причиной изменения световой волны. Даже в процессе обычного распространения света в пространстве происходит изменение поля его комплексных амплитуд. Примером этого может служить рассматриваемое далее в гл. 6 свойство тонких линз выполнять преобразование Фурье распределения амплитуд в световой волне. Мы увидим, что для осуществления преобразования Фурье необходимо не только, чтобы свет прошел через линзу, но и чтобы он прошел после этого путь, равный фокусному расстоянию линзы. Процесс получения голограмм и их изображающие свойства можно объяснить с помощью теории дифракции.
В этой главе мы рассмотрим распространение и дифракцию плоских волн сначала на препятствиях простой, а затем более сложной формы. Будет установлена связь между распределением комплексных амплитуд света в плоскости объекта и в плоскости, удаленной от него на некоторое расстояние в направлении распространения волн. Анализ проводится в области пространственных частот. Хотя этот подход отличается от принятого во многих учебниках по оптике, мы увидим, что он естественно вытекает из исходных представлений. При обычном методе анализа, т. е. в координатной области, связь между амплитудами светового поля в двух плоскостях устанавливается с помощью интеграла Френеля — Кирхгофа. Мы покажем эквивалентность того и другого подхода к решению задач о дифракции.
§ 1. Волновое уравнение и его решение для монохроматической волны
Уравнения Максвелла устанавливают связь между производными по координатам и времени от векторных величин, характеризующих электромагнитное поле. Для волн, распространяющихся
§ 2. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ Ц7
в свободном пространстве, из уравнений Максвелла можно получить волновое уравнение
VM*, у, z, O = Jr^''' ° (5-І)
(см. [5.1]). В соответствии со сказанным в гл. 1, § 2, будем рассма-
—>
тривать только вектор электрического поля v; через с обозначена скорость света; t — время, V2 — оператор Лапласа, а х, у, z — декартовы координаты. Из условий интерференции, выведенных в гл. 1, § 3, п. 1, вытекает, что в уравнении (5.1) векторные величины можно заменить скалярными, т. е.
VM*. У, M) = -^- , (5.2)
где V (х, у, z, t) — одна из двух взаимно перпендикулярных компонент электрического поля, колеблющихся в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.
Если, как в предыдущих главах, рассматривать монохроматический свет с частотой /, то решением уравнения (5.2) будет синусоидальное скалярное поле
V (х, у, z, t) = а (х, у, z) cos [2nft + ср (х, у, z)], (5.3)
или, по аналогии с (1.6),
V (х, у, z, t) = Re [а (х, у, z) ехр (2nift)], (5.4)
где а (х, у, z) — комплексная амплитуда, или фазор, определяющий как амплитуду, так и фазу волны,
а {х, у, z) = а (х, у, z) ехр [iq> (х, у, z)l (5.5)
Для удобства математических выкладок символ Re [ ] отбрасывают и в (5.2) величину v заменяют комплексной величиной v. Делая эту замену, следует помнить, что в действительности физическая величина электрического поля вещественна.
§2. Решение волнового уравнения для случая плоской волны
Волна называется плоской, если ее амплитуда и фаза в любой момент времени постоянны по всей плоскости, уравнение которой имеет вид
r-n = const, (5.6)
где, г — радус-вектор точки в пространстве, а /г — единичный вектор, нормальный к рассматриваемой плоскости (фиг. 5.1)»
118
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
ГЛ. 5.
Положим, что удовлетворяющая волновому уравнению комплексная величина электрического поля v имеет вид
V (х, Z/, z, t) = а^ехр (—ikr-ri) ехр (i2nft), (5.7)
где ах — постоянная амплитуда волны, а к — константа, физический смысл и величину которой мы определим далее. Если произве-
дение г-п постоянно по всей плоскости, то, согласно (5.7), фаза
N4 /
/
/ >v
/ N. P
/ X4 я*
? / / .
/о/
/
/ /
//
V
ФИГ. 5.1. Плоская волна в прямоугольной системе
координат х, z/, z,
волны в любой момент времени тоже постоянна по всей этой плоскости. Для конкретных значений г = T1 и t = фаза волны будет —> —>
равна 2nfti — ^r1 •n = <р4 (гь ^1). В более поздний момент времени t2 > h то же значение Cp1 фаза будет иметь на большем расстоянии r2 > T1 -/г, в то время как на прежнем расстоянии T1 -п она возрастет. Таким образом, плоскости постоянных фаз перемещаются в пространстве, и решение волнового уравнения, имеющее вид
