Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кольер Р. -> "Оптическая галография" -> 35

Оптическая галография - Кольер Р.

Кольер Р., Беркхарт К., Лин Л. Оптическая галография — М.: Мир, 1973. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): optikgalograf1973.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 230 >> Следующая

ехр (— ngx2) ехр (— HgZ/2),
так что ее фурье-образ можно найти путем двукратного применения соотношения (4.9). Вычисление фурье-образа одномерной функции производится следующим образом:
OO
A (?) = J ехр (— ngx2) ехр (2пИ^х) dx =
— OO
OO
= j ехр [—n(gx2 — 2ilx)]dx =
— OO
OO — OO
1«р[-(^*-=й)Чуг'ь-
— OO
= ЇТЇЄхр("?)'
где интеграл с бесконечными пределами в предпоследней строке равен единице. Тогда для функции A (v), являющейся фурье-образом функции ехр (— я#г2), имеем
A(V) =
где
104
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
ъ(х, у) = not (-?) = { I
Функция круговой апертуры rect (г/2с) равна единице в круге радиусом с и нулю при г >> с. Чтобы найти ее фурье-образ, следует записать (4.1) в цилиндрических координатах. Положим
X = г cos 9, z/ = rsin0, g = vcos(p, t) = vsm(p,
1 для г < с, для г > <?.
Тогда формула (4.1) принимает вид
с 2я
A (v) = j ? J ехр [2ju>v cos (6 — ф)] dQ J г =
о о
с с
= j [2я/0 (2nrv)] rdr = -^2" j (2^vr) J0 (2nxr) d (2nvr) = о о
= SA(2™) = ^^).
Здесь мы воспользовались следующими соотношениями:
2я/0 {%) = j ехр (i# cos ?) d? и j ж/0 (#) ^ = (х)
(см. [4.4]), где /0 и J1 — функции Бесселя первого рода соответственно нулевого и первого порядков. Функция
J1 (2nvc)
J[VC
имеет максимальное значение, равное единице, при v = 0, следовательно, функция A (v) достигает своего максимального значения, равного лс2, в начале координат частотной плоскости. Функция A (v) показана на фиг. 4.7. Ширину кривой A (v) принимают равной величине v0 = 0,61/с, т. е. полуширине центрального пика.
В литературе имеются подробные таблицы фурье-преобразо-ваний (см., например, [4.5]), на которые мы при необходимости будем ссылаться. Однако полезно рассмотреть здесь некоторые из основных операций фурье-анализа и привести в наших обозначениях наиболее употребительные соотношения между функциями. Для обозначения функций в координатной области мы будем пользоваться строчными буквами, для обозначения функций в частотной области — прописными, а символом zd будем указывать на фурье-соответствие функций в частотной и координатной областях. Каждому соответствию, обозначенному символом id, отве-
ОПЕРАЦИЯ СВЕРТКИ
105
чает обратное соответствие, обозначаемое символом с:, за исключением соотношений (4.20) и (4.21), относящихся к операции сдвига, а также соотношения (4.33).
§ 3. Операция свертки
Рассмотрение операций, устанавливающих соответствие между функциями в разных областях, начнем со следующего соотношения:
с»
Ъ(х)= J а (и) 8 (ж—и) d» z?A(6)S (6) = В (6). (4.11)
— оо
Интеграл, стоящий слева, называется интегралом свертки; его часто записывают следующим образом:
OO
j а (и) s (х—и) du = 8i(x)*s(x),
— OO
где символ * означает операцию свертки. Соотношение (4.11) выражает очень важную теорему свертки, согласно которой фурье-образ свертки двух функций равен произведению их фурье-образов. Соотношение (4.11) легко доказать с помощью определений фурье-образа (4.9) и (4.10):
OO OO OO
ja(u)s(# — u)du = j a(u) j S(?)exp[— 2m (x—u)l] d\du =
— OO —OO —OO
OO OO
= j S(?)[ j a(u)exp (2muQ dujexp (—2nixl)dl =
— OO —OO OO
= j A (?) S (I) exp (- 2aixl) dl ZD A (I, T1) S ?, tj).
— OO
Заметим, что по виду последнего интеграла нельзя сказать, которая из функций, стоящих под интегралом свертки, имеет сдвиг. Следовательно, операция свертки коммутативна, т. е.
а (х) * s (х) = s (х) * а (х).
В гл. 14 будет использовано следующее свойство операции свертки, относящееся к влиянию сдвига одной из функций, стоящих под интегралом свертки: если функция а (х) смещена на расстояние с относительно своего начального положения, то свертка
106
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
а (х — с) * s (х) может быть выражена через смещенную свертку начальных функций а (х) и s (х). Пусть
сю
а (х) * s (х) = j а (и) s (ж—u) du = h (х),
— oo
тогда
oo
а (х—c)*s(x)= j а (и—c)s(x—и) du =
— oo oo
= j a(v)s[(?—с) — v]dv = h(x — с), (4.12)
— oo
где V = U — С.
Смысл интеграла свертки можно уяснить с помощью фиг. 4.3, на которой показаны вещественные функции a (z/), s(u), а также
ФИГ. 4.3.
Иллюстрация операции свертки. Площадь под кривой а (и) s (х — и) численно равна значению свертки b (х) в точке х.
функция s{—и), являющаяся зеркальным отражением функции s (и) относительно оси ординат. Для нахождения интеграла (4.11) нужно построить зеркальное отражение функции s (и), полученную функцию сдвинуть по оси и вправо на отрезок х, умножить сдвинутую функцию s (х — и) на а (и) и вычислить площадь под кривой а (и) s (х — и). В результате мы получим одно значение функции Ъ (х). Повторяя указанные действия для различных значений сдвига х, можно построить функцию Ъ (х).
Фиг. 4.4 иллюстрирует операцию свертки двух простых прямоугольных функций. Сдвинутая функция s (х — и) перемещается
ОПЕРАЦИЯ СВЕРТКИ
107
вдоль функции а (и) (верхняя часть фиг. 4.4). Свертка этих двух функций отлична от нуля только для тех значений сдвига х, при которых функции перекрываются. Ширина свертки, изображенной как функция от х (нижняя часть фиг. 4.4), равна сумме ширин функций, подвергаемых операции свертки. Последнее справедливо для функций произвольной формы.
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed