Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Подготовим теперь нашу систему уравнений для расчёта.
Заметим сперва, что уравнение (37.55), если его продифференцировать по $
и привлечь (37.54), приведёт к соотношению:
v + Mw+A+vwd)==0> (37-63)
360 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1
Будем теперь искать линейные комбинации 9 и 'I" от наших функций а и и по
формулам:
<37'62>
Введём ещё безразмерную координату V = ?Д2 и безразмерное время т/т2 —т',
причём примем
что же до выбора ?2, то её мы определим из рассмотрения полных энергий —
формулы (37.49). Можно положить
р2Ц~Е, т. е. ^ = 3,
где Е~аЕ0, а а — параметр, введённый выше (а = 1,175 при х = 1,4).
Складывая уравнения (37.56) и (37.61), получим после простых
преобразований
Th7 где
л -? (тГ ЦГ- (?)’ [^» - *>Г>Т ? ^
A = (37 65)
. M(9-V) *,
4 Ь ‘
Вычитая из (37.61) уравнение (37.56), получим аналогичным образом
= (37.67)
Наконец, уравнение (37.54) примет вид
ж = (^)Ч(^т)7ГГ<'р+'Р)‘^г- (37-68)
Теперь искомыми функциями будут 9, Tr, ft, х и для их определения служат
четыре уравнения: (37.63), (37.67), (37.68) и (37.53). Краевые условия
(37.53), (37.57) запишутся теперь в виде:
T-V-TrT (?-?)/?•
). (37.70)
Третье условие, (37.59), остается без изменения.
4 ь • (37.66)
ОДНОСТОРОННИЙ ВЗРЫВ
361
Опишем схему численного интегрирования, составленную упомянутыми выше
авторами применительно к счёту на электронной вычислительной машине.
Предварительно сделаем ещё одно замечание. Определяя функции ср и 47, мы
имели дело с безразмерными функциями а/а2, uja2, &/&2, сами функции ср, W
тоже безразмерны. В качестве ?' и х' входят безразмерные величины.
Поэтому все наши уравнения и краевые условия будут носить универсальный
характер.
Приступая к численному интегрированию, рассмотрим плоскость (?', г')
(рис. 149). Разделим отрезок на равные интервалы Д? и проведём через
точки деления прямые ?' == const. Шаг по времени будем выбирать так,
чтобы было
Дт = Д|
it 2
(37.71)
где N—скорость перемещения ударной волны.
Таким образом, шаг по времени будет меняться, в то время как шаг по %'
остаётся одним и тем же.
Перенумеруем горизонтальные линии т'= const., начиная с прямой АВ\
перенумеруем вертикальные линии — const., начиная с линии ния какой-то
функции, например постановки номеров прямых, проходящих через эту точку.
Так, о? означает, что ср берётся на пересечении /-й вертикальной линии и
я-й горизонтальной.
Предполагаем, что нам известны значения всех функций (в том числе и Nja2)
вплоть до й-й горизонтальной линии. Как найти значения наших величин на
n-j-1-й горизонтальной линии?
Заменим сперва в уравнениях (37.68), (37.67) частные производные
конечными разностями по формулам:
??
Рис. 149.
= 0. Будем обозначать значе-в узлах нашей сетки путём
U<f V 2
W/. i
h+rr
AS
/14*1
dcp\
+C1
j ..л
ft +?. + !
)•
I
(37.72)
(37.73)
Аналогично запишем d^jdV, dWjd~', Производные эти записаны, как видно, в
центре соответствующей клетки. Тогда мы получим
362
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ. 1
следующие разностные уравнения:
,„п+1 ц_,.п + 1_ я___ я n+L„.n I „л+1 „я ,.п
4l “T-fi+1 — ?(— ?/ + i . ял 2 ?»• + ! "Г W+i — <fi — V,-
Дт: 1 • 1 Д-
‘ + 2
М * 71 + 1 1 T<+1 '1 т‘ I
, . 1 Д; ^
, J_
-f - 2 (Л-j- ^ = 0. (37.74)
2
'ч +
1
+ 2(A+V')"'? =°- (37.75)
где V' — V ~ ^j (причём, в силу (37.53), дЬ/д? зависит лишь
от номера I, но не зависит от га).
Уравнение (37.75) решим относительно получим
4lTl = А№Х\ +Bt, (37.76)
где
(<! + #) (37-77)
I л-1-?- Л-1 н'-
Bi = 4U\-Affl-2\ м" '] +4 (А-Ь У')'1] Д;- (37.78) \ t+2 / 1 + 2
1
п+—
Будем считать пока известными величины (Л1, А, V') ", а также
t H-J
значение величины Дт (Д|— стандартно). Тогда A-v Bi будут известны. Пусть
последняя «справа» точка га-й горизонтальной линии (т. е. точка,
отвечающая поверхности разрыва) имеет номер «й». Ясно, что Аг, будут
иметь смысл лишь до тех пор, пока /-(-1 к. Это же относится и к формуле
(37.76). Применяя формулу (37.76) сперва для I-j-l=&, потом для i-\-\=k—1
и т. д., получим
= Ak-№li ь Чз?-2 = Ak-i^k-X -f- Ви-2, •••
или
4'ft-2 — Aj._2 (4_]4j? + -(- =
= Ak-iAk-X^k ' 1 -f- Ак-2Вр:-\-f- Вц-2 И т. Д,
ОДНОСТОРОННИЙ ВЗРЫВ
363
Таким образом, путём рекуррентных соотношений мы можем выразить
ч*Й, ЧГ1
через посредство Ч'* 1 (неизвестная величина).
Именно,
где
e, = Vi + i- (37-79)
bi = Чг?+1 — лг (47 — ь1+,) - а, (37.80)
1 / 1
Л + 7Г / Л + у
Cl = 2A?(A+V') Чм Ч
<+2\ i+l
av bj, ct все последовательно определяются, причём ak + l= 1, bk + l = 0.
Так как по определению (37.77) величина Лг всегда будет меньше единицы,
то коэффициенты а,- будут по (37.80) убывать к центру (к осп z') и при
достаточно большом числе расчётных точек мы можем считать а0дьз 0. Но
тогда в центре будет i^+1?siZ>0, причём, так как на оси z' ($' = 0) имеем
и — 0, то по (37.62) мы можем считать
<?Г,==Л- (37-82>
Но теперь мы можем обратиться к уравнению (37.74) для определения
значений ср'И1 во всех остальных точках соответствующей горизонтали.
