Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 67

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 183 >> Следующая

4 г/ 01. (?Х 1 2 7. — 1 \ С1,а дк }
Если
1 *±JL —
2 \ — j — т>
где т — целое число, то мы получим уравнение Дарбу, которое интегрируется
в общем виде. В частности, при у. ==1,4 мы будем иметь т = Ъ, так что
наше уравнение примет вид:
дЧ | _ 3 / dt__________dt\ ^
дХ д;л г 1 — р, \ фх дк )
Уравнение это имеет общим решением
(35Л2)
После того как t определено, х может быть сразу найдено по (35.11). Это
будет
/it w 2 д2 г/ д . д \ А — М] /ос юч
X _ (X 4- J*) t — т 1Tdj | 4- ^ T—jrJ. (35.13)
Произвольные функции А и М, входящие в (35.12), должны определяться из
краевых условий, аналогично тому, как это делается в классической задаче
о струне.
(35.11)
ВОЗНИКНОВЕНИЕ И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ СИЛЬНОГО РАЗРЫВА
341
§ 36. Возникновение и перемещение сильного разрыва. Предположим теперь,
что в покоящейся среде, обладающей всюду постоянной энтропией 6 и
постоянной скоростью звука а0 и заполняющей бесконечный цилиндр, движется
поршень по закону x~f{t). Пусть, как и прежде,
:я.=«
но в то время, как раньше мы считали, что /' — монотонно убывающая
функция t, предположим теперь, что /" (/) может оказаться положительной.
Для большей ясности предположим просто, что всегда будет /"(/)> 0 (рис.
142). В этой задаче, так же как и в соответствующей задаче предыдущего
параграфа, характеристики первого семейства будут прямые, и движение
может быть определено и графически и аналитически. Однако в то время как
характеристики первою семейства при /" < 0 становились, по мере
продвижения вдоль линии L, начиная от точки х0 = / (0), всё круче по
отношению к оси х, здесь характеристики будут становиться всё положе. В
самом деле, точка А\, например, будет иметь vx > 0 и а > а0, значит,
If) я = + ал, > 0 + «о = л ’
л,
Рис. 142.
что и доказывает наше утверждение. Но тогда прямолинейные характеристики
первого семейства, исходящие из разных точек L, начнут, рано или поздно,
пересекаться. Наступит явление сильного разрыва.
Нетрудно подсчитать расстояние от начального положения поршня до «первой»
точки поверхности разрыва и момент возникновения такового. Для этого
достаточно найти предел, к которому будет стремиться место пересечения
характеристики, идущей из А (рис. 142), и характеристики, идущей из Av
когда стремится к А.
Для первой из этих характеристик имеем:
л; •
aQt.
Для второй
х — х0 — Дл;0 = [а (х0 -f- Дх0, М) -j- vx (х0 -f- Дх0, Д?)] (t — Д/),
гДе Дх0 есть разность абсцисс Аг и А, а Дt—разность ординат в этих
точках. Отсюда найдём для точки пересечения этих прямых:
^ Л -Г о ~Ь [я (х0 Да'0, Д4) -4- vx (хй Д- Дх0,
ДО] А/
vx -f а (х0 + Да'0, ДО — а0
X = Хп
' ас/-
342
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
1ГЛ. 1
Но
д*о = /' (*о) М,
*4-1
Vx + а — а0 = vx (х0 + Д*0, М)« Ы [(/% = 0],
и мы получим в пределе для момента Т возникновения разрыва
а для положения X:
Т 2д° !,
(х+ 1)/о
X:
х + 1 /о
-ь х0.
Появившийся таким образом разрыв усложняет картину явления в двух
направлениях. Во-первых, он заставляет искривляться все характеристики
первого семейства [после того, как они пересекут характеристику второго
семейства, идущую через точку (X, 7)],
во-вторых, и это существеннее, благодаря тому, что скорость N перемещения
поверхности разрыва будет, вообще говоря, переменной, поверхность будет
оставлять позади себя область переменной энтропии. Поэтому формулы § 35 и
прямолинейные характеристики в плоскости (vx, а) неприменимы, и нам надо
обратиться непосредственно к формулам (33.11), (33.12), (33.13) из § 33.
Покажем, как решается графически задача о движении разрыва, если разрыв
возникает уже при 1 = 0 и у самого поршня. Это будет в случае, если
поршень в начальный момент получает сразу скорость гф, отличную от нуля.
Пусть некоторое время поршень движется с этой постоянной скоростью, а
затем скорость поршня начинает непрерывным образом меняться по
произвольному закону. Изобразим, как всегда, закон движения поршня L в
плоскости (х, f) (рис. 143). Обращаясь к плоскости (ух, а), найдём на
кривой четвёртого порядка (34.9) значение a = av отвечающее значению vx =
v1 (С' на рис. 144). По формуле (34.8) мы можем найти теперь
Рис. 143.
>) Мы предполагали при выводе, что «первая» точка разрыва лежит на
«первой» характеристике. Условие это может и не выполняться. В общем
случае первую точку надо искать на огибающей системы прямолинейных
характеристик.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ СИЛЬНОГО РАЗРЫВА
343
JV—скорость перемещения поверхности разрыва:
Отрезок АС прямой
X АГд “|— PJt
будет представлять отрезок линии Lx, изображающей перемещение поверхности
разрыва около точки А. Пусть В есть точка L, после которой L начинает
искривляться; проведём прямую характеристику первого семейства ВС до
пересечения с проведённым уже отрезком АС. В прямолинейном треугольнике
ABC движение происходит со скоростью vx = vx = const. В области,
ограниченной прямой ВС, криволинейным отрезком BD линии L и криволинейной
характеристикой CD
второго семейства, движение найдётся так же, как это было сделано в
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed