Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
предыдущем параграфе (прямолинейные характеристики первого семейства и т.
д.). На линии CD нам будут, таким образом, известны vx, а и с. Нанесём на
CD густой ряд точек: Мх, М2, ? ? из точки Мх проведём характеристику
первого семейства (элемент её) МХЕ, используя формулу
до пересечения с продолжением СЕ прямой АС. Чтобы найти скорость в точке
Е, проведём из точки Мх (рис. 144) [в плоскости (г»_г, а)}, отвечающей
точке Мх плоскости (л:, /), прямую характеристику первого семейства до
пересечения в Е' с нашей кривой четвёртого порядка. Определив координаты
Е', т. е. найдя значения vx и а в точке Е, можем затем построить новую
скорост., поверхности разрыва в Е по формуле (34.8) и провести из точки Е
новый, не являющийся продолжением прямой СЕ элемент линии разрыва.
Построим теперь элемент характеристики второго семейства,
а
О
Рис. 144,
344
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ. I
идущий из М2 по формуле
и элемент характеристики второго семейства, выходящий из Е, по формуле
(?ж)Е=^в~аЕ-
Было бы ошибочно искать скорости в точке Рг пересечения этих
характеристик как координаты точки пересечения в плоскости а) прямых:
2 2 vx — (+Ь = --г-zt — аЕ>> vx — (vx)M, = — ttzti- + — ам2);
в самом деле, уже начиная от точки С, линия разрыва начнет искривляться,
т. е. N начнёт меняться со временем, а это, как мы знаем, приведёт к
тому, что разные точки получат разную энтропию; нельзя будет больше
считать dbjdi = 0, а следовательно, нельзя пользоваться соотношениями
(35.1), (35.2). Мы должны обратиться к общим формулам (33.11), (33.12) и
искать Р\ на пересечении прямых
+ - &х)м,+~т (а ~а?«.> = ln ’
2 а 9
Vx ~ (Vx)e — ТИТ (« — ав) = — -^zrc 1п АГ ?
Е
Значение ЬЕ находится по формулам (34.6), (34,7), ибо N в Е мы уже знаем.
Значение будет тем же, что и постоянное для всего криволинейного
треугольника ACD значение Я. Чтобы найти Ор,, найдём сперва, чему будет
равно $ в точке Рх\ по (33.12)
2 х + 1 \
1 а л 1 )Е (/р1 tE),
причём в качестве «исходной» скорости а0 в точке Е можно принять просто
значение аЕ, что же касается Е?, то это будет просто координата хЕ (закон
движения представляется для всех точек между линией ALX и осью АХ
прямыми, параллельными оси t\ линии закона движения разрыва не терпят, а
лишь изламываются при переходе через AL^). Зная \рх и вспоминая, что &
зависит лишь от ?, мы можем затем найти Ир, простым интерполированием (по
Ид и ®мг)-
§ 37. Односторонний взрыв. Плоский, цилиндрический и сферический взрыв
без противодавления. Сферический взрыв с противодавлением. Мы уже
упомянули в § 2 этой главы, что если условия (2.15), (2.16) и (2.17) не
выполнены, то возникает взрыв-
ОДНОСТОРОННИЙ ВЗРЫВ
345
На примере одноразмерных движений покажем, как это явление будет
протекать. Пусть в начальный момент (t — 0) по обе стороны от плоскости х
~0 заданы значения гидродинамических элементов vx, р, р; для простоты
предположим, что для х < 0 в начальный момент всюду:
vx ~ const. = Р — const. = р = const. — Pj,
и для JC > 0:
vx ~ const. = v2, р — const. — р2\ р = const. = р2,
и эта шестёрка чисел совершенно произвольна (р и р лишь положительны), т.
е. их значения не удовлетворяют уравнениям (2.15), (2.16) и (2.17) ни
при каком N [например, пусть vl = v2 = 0,
а р2ф р^ — тогда (2.15) не выполняется]. Сразу же от того места
(х = 0), где был в начальный момент разрыв, побегут три поверхности
разрыва, одна из них — крайняя «слева»—будет распространяться по среде
имевшей в начальный момент vx = v\, . . ., другая — крайняя «справа» —
будет распространяться по среде, имевшей при t — 0 vx = v2, ••• Наконец,
средняя будет поверхностью стационарного разрыва и она, перемещаясь в
пространстве, не будет распространяться по частицам, отделяя всегда газ,
обладавший значениями элементов v2, р2, р2 от газа, имевшего значения
элементов vY, рр Pl. В момент времени, бесконечно близкий к начальному,
рассмотрим все четыре области, таким образом образовавшиеся. Назовём
через р'у pj значения гидродинамических элементов между крайней «слева» и
средней поверхностью разрыва; пусть т»', />', р2— значения элементов
между средней поверхностью разрыва и крайним справа разрывом. Тогда,
вследствие стационарности средней поверхности разрыва, давление р’ на
этой поверхности разрыва не терпит, так что
Р\=^Р'2 = Р’\
при этом будет
«;Р; = 8'Р; (37.1)
(если ?/ одинаково в обеих средах). Кроме того, так как в — 0, то v2 - -
‘Ур пусть это будет v'\
v' = v'1 = v2.
Н. Е. Кочин показал, что могут быть четыре случая: 1) обе крайние
поверхности суть поверхности сильного разрыва (разрыв давления); 2) обе
крайние поверхности разрыва суть поверхности слабого разрыва
(характеристики); 3) правая крайняя поверхность есть характеристика,
левая крайняя — сильный разрыв; 4) левая крайняя поверхность—
характеристика, правая крайняя — сильный разрыв.
346
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ. I
В качестве примера рассмотрим подробнее, что произойдёт, если:
