Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
(х + 1)(, + 2) - л V)— (х+1)2(, + 2) ’
1(1)~[(ч+2)2(*+1)] V-+1 92
х-1
(37.47)
Параметр b определяется вновь из условия сохранения полной энергии
(формула типа (37.34)), которое в цилиндрическом случае приведёт к
соотношению
X* X*
j" ~~ 2кх dx + j' ту 2irx2 dx = EQ — const., (37.48)
о о
а в сферическом случае —
Ж* X*
I* 4 тих2 dx -f- j 4кх2 dx — E^ = const. (37.49)
Точное решение (37.45), удовлетворяющее (37.47), имеет вид
2
§37]
ОДНОСТОРОННИЙ ВЗРЫВ
357
Внося А2 из (37.50) в уравнение (37.44), легко приведём последнее к виду
Элементарные квадратуры завершают решение задачи. Постоянная Ь, как и
прежде, может быть представлена в виде b = a.EJр2, причём а «0,8 для
цилиндрического случая и а «1,175 для случая сферического.
Особенностью всех приведённых здесь точных решений является то, что они
дают в центре (х — 0) значения р = 0, Т=со (р ф 0), что следует
непосредственно из вида соответствующих формул
Решение Седова хорошо согласуется с экспериментом. В случае, когда
противодавлением нельзя пренебречь и приходится пользоваться точными
формулами (37.9) — (37.11), автомодельного решения больше не существует.
Случай этот можно рассчитать численно, построив соответствующие конечно-
разностные уравнения и выбрав расчётную схему. В качестве примера
приведём путь решения полной задачи для случая сферической симметрии,
предложенный в работе Д. Е. Охоцимского, И. Л. Кондрашевой, 3. П.
Власовой и Р. К. Казаковой1).
В качестве независимых переменных введём лагранжевы координаты: х— время
и ?— расстояние от начальной точки взрыва.
Уравнение (37.40) примет теперь простой вид
‘)Охоцимский Д. Е., Кондрашева И. Л., Власова 3. П., Казакова Р. К.,
Расчёт точечного взрыва с учётом противодавления, ‘РУДЫ Матем. ин-та им.
В. А. Стеклова, 1957.
rflnX 2 (у,—l)(v + 2) 1
~dV “Т7" v+2(x-l) 2
*(v + 2)
(37.51)
Наконец, комбинируя (37.46) и (37.50), будем иметь
* dV V v-f-2(x—1) 2
*<2 + v)
x ~1 у.2(т*+4) — х(3ча — 8у+4)+4ч(ч — 2)
rflnfl 2 2 (x— 1) -f- vx___________1______________j x
1
2 (x — 2)
v + 2(x — 1)
(37.52)
= 0 или Ь — Ь (E).
(37.53)
358
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ. I
Вид функции Ь(?) надлежит определить. Вместо уравнения (37.41) имеем
уравнение неразрывности в лагранжевых координатах:
дх I2 р2
dl х2 р
где, как и прежде, р2 — начальная плотность среды, предполагаемая
постоянной. Выразив р через а и 0, получим
ж = Ш)~(т)~- (37-54>
При этом
^г = а. (37.55)
Наконец, уравнение (37.42) может быть приведено к виду
2
“)ж(тг)‘+1 Ш'~1 =0' <37-56>
В качестве искомых функций фигурируют а(?, т), а(1, х), х (%, т), Ь (?).
Движение должно сопрягаться с покоем путём перехода через поверхность
разрыва; при этом должны выполняться условия (37.9),
(37.10), (37.11). С помощью и, а, & мы представим эти условия
в виде:
и 2 N
4 \
N2 ) ’
а2 х + 1 аг
/ а у_ 2(х-1) / N2 х-1\ / 2 4 \
\ а2 ) (х+1)2 \ а\ 2х / \ х—1 N2 )
/ « \х 2х / X— 1 W N2 X—1 \ / 2
1 —ж . (37.57)
х + 1 \ у. + 1 / \ 2х / \ х — IN2
(37.58)
(37.59)
Выберем теперь начальные данные. Мы примем, что для малого промежутка
времени от начала взрыва до некоторого момента х0 процесс можно считать
автомодельным, т. е. можно пренебречь противодавлением. Решение для
такого движения нами уже изложено. Тогда нам предстоит решить следующую
задачу. Найти гидродинамические элементы в части плоскости (с, х),
ограниченной неизвестной,
подлежащей определению, линией ВС (см. рис. 148), изображающей закон
движения ударной волны (на этой линии должны удовлетворяться условия
(37.57) — (37.59)), отрезком прямой АВ (х = т0) (здесь все искомые
функции нам известны) и осью симметрии с = 0 (здесь и — 0 = х). Прежде
чем приступить к изложению схемы
ОДНОСТОРОННИЙ ВЗРЫВ
359
решения задачи, рассмотрим поведение искомых функций на «начальном»
отрезке АВ. Для этого обратимся к формулам (37.50), (37.51), (37.52) при
v — 3. При х = 0 (т. е. ? = 0) автомодельные решения пя а и 0 обладают
особенностью. Последняя отвшает значению 9 ,2
1; ~~Г~Г~7К ’ т- е- ПРИ V =-^—. В силу (37.51) главные
V- (V 4-2)
части V и /. будут связаны соотношением
v + 2 (X —1) 2х + 1
. X (у- 1) (v + 2) —X 5 О'-»
О ! V
_2_
5'/.
2х + 1 х-1
пли, по (37.43), О 5^) = х
(при закреплённом т). Но тогда по (37.50), имеем О (А2) =
2_' -1 5у.
: О V
? х
2х+1 х-1
И,
ПО
Рис. 148.
(37.52), 0(0)= О
{v~k)
5х-2 1 2 \ 2х + 1 х
5z-2 1
Обращаясь теперь
к (37.54) и (37.55), мы можем определить характер зависимости 9 от ^ на
отрезке АВ. Именно, привлекая (37.42), имеем сперва
5х~2
0(1)) = хЛ (7-1)7. —х *-ь О (а2): Таким образом, по (37.54),
3 / 3
: X
2у. + 1 х-1 -----------------
3
х-1
С^{х *"1)< * (* X_I)
-2^+1 а2х x_i
дх
д; ч.‘
где С — некоторая постоянная. Отсюда получим
7-1
х = const. % * .
Определив, таким образом, асимптотическую зависимость х от % для точек,
прилегающих к центру (отрезок АВ), мы найдём, далее, '‘то вблизи центра
7-1
9 = constД *, а2 = const. $
и = const. \
(37.60)
