Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 66

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 183 >> Следующая

где F— совершенно произвольная функция своего аргумента. Мы должны
подобрать эту функцию так, чтобы на поршне, движущемся по закону х = f
(t), имелись данные скорости vx = dfjdt. Это значит, что надо положить
для определения F:
Рассмотрим пример. Пусть поршень движется равномерно замедленно так, что
dt
Т
dx
значит,
(35.6)
Тогда должно быть
t = (а0 — V al + 2x/i7j).
Итак,
F (Jl) — — ^ (а0 — ^ао+ 2-mri),
т. е.
vx = ~~{a0 — -yr 2хд [х — т>х + а0) t]} .
Решая это уравнение относительно vx, найдём окончательно:
’-V — — — {п tA-a0 — |/~ [п ^ t + aQj2 2 пх
(х — a0t) j.
22 Теоретическая гидромеханика, ч. II
338
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
(ГЛ. I
Последняя формула годится лишь до тех пор, пока скорости поршня не станут
слишком велики. Именно, по (35.5) а станет отрицательно, если
vx < 0 и |^| > 2
7,— 1
ап
Частицы, прилегающие к поверхности поршня, имеют скорость поршня;
nt2
значит, если принять для поршня закон х — g-, то для момен-
2 й
тов t >- ^ формула будет неприменима. Позади поршня обра-
зуется вакуум.
Обратимся теперь к более трудному случаю. Попробуем изучить движение, в
которое приходит газ, находящийся между перемещающимся по заданному
закону поршнем и стенкой. Пусть в начальный момент газ находился в покое
(vx = 0) и имел постоянное а = а0, а поршень движется по закону х = f
(t), причём в начальный момент /'= 0, / (0) = х0. Пусть стенка имеет
абсциссу xv В плоскости (х, t) изобразим закон движения поршня L и
проведём «линию стенки» Lj, уравнением которой будет х = xv Проведём
через точку
А (х -
0) прямую характеристику первого семейства ABt до пересечения со стенкой
в точке В1; получим
? хл
а0(.
Треугольник АВ{АХ будет отвечать покою. В области между L,
Vjf
прямой АВХ и характеристикой (криволинейной) второго семейства,
проходящей через Вг, будет движение уже разобранного типа с
прямолинейными характеристиками первого семейства. Нанесём на
характеристике ВХВ густой ряд точек Вх, Мх, М2, . . ., В (рис. 140). В
плоскости (vx, а) этим точкам будут отвечать точки В\, Л1ь М2, . ..
прямолинейной характеристики второго семейства, проходящей через точку
(0, а0) (в точке Вг ещё будет vx = 0, а = а0) (рис. 141). Чтобы найти
скорости в точке Сх пересечения с L{ характеристики первого семейства,
проходящей через Mv обращаемся к операции (3-
СЛУЧАЙ ПОСТОЯННОЙ ЭНТРОПИИ. ДВИЖЕНИЕ ПОРШНЯ
339
На всюду vx = 0, значит, в плоскости (vx, а) нам придётся от М1
перемещаться по прямой характеристике первого семейства до встречи в Cj с
осью а. Определив таким образом скорость в точке Cj, применим теперь к
точкам М2 и Сх операцию а и определим скорости Pi на пересечении Р1
характеристик М2Рг и С1Р1 [точка Р\ найдётся в плоскости (vx, а) на
пересечении характеристик, идущих из М2 и С2 соответственно]. Дойдя до
точки Рп (рис. 140), применим к Рп и к линии L операцию р и найдём
скорость в точке С и т. д. Легко видеть, что теперь оба семейства
характеристик в (х, t) будут криволинейными.
Изложенный здесь метод графического решения задачи очень прост и
позволяет произвести вычисления с любой точностью. Он аналогичен тому
способу решения плоской стационарной задачи при помощи характеристик,
который мы подробно излагали в разделе Б этой главы. Однако, в то время
как в главе о плоских движениях мы не имели общих решений, кроме как в
случае наличия прямолинейных характеристик, здесь в одноразмерной
стационарной задаче можно написать точные решения и в общем случае.
Правда, это относится лишь к таким газам, для которых х удовлетворяет
определённому соотношению (см. ниже), но, в частности, это относится к
случаю, когда х—1,4. На это обратил внимание ещё Адамар !). Чтобы
показать это, возьмём уравнения (33.6) (при & — const.) и
(33.3) и примем в качестве независимых переменных, вместо х и t,
величины vx и а. Используя наши характеристики, мы можем очень легко
выполнить это преобразование следующим образом. Для удобства письма
обозначим vx через и:
Обозначим, затем, как и прежде,
2
X 1
2
X. -
? 1
= U.
а = 2Х, а — 2и.
(35.7)
и введём в качестве независимых переменных X и р.. Очевидно, что будет X
= const, вдоль характеристик первого семейства и р = const, вдоль
характеристик второго семейства.
Мы можем всегда вернуться к переменным и и а по формулам
« = Х + р., ]
*-1л ч (35.8)
с = —j-(X — {*). j
') Hadamard J., Leyons sur la propagation des ondes, 1903.
22*
340
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Так как вдоль характеристик первого семейства dx — (и -f- a) dt,
то мы можем написать:
А V Af
+ (35.9)
Вдоль второго семейства характеристик
dx = (и — a) dt,
и мы можем написать
дх , . dt _ , л.
Ж = (“~а)"Ж‘ (35.10)
Остаётся вставить в (35.9) и (35.10) значения и и а из
(35.8),
и мы получим систему уравнений для определения х и / в
функциях
от А и р.:
дх (х + 1 , , 3 — г. \ dt —1 11 а)
За \ 2 ' 2 ' / фа
дх /3 — х , , 7.4- 1 \ dt
__ — ^ _ X -| 2 v Ж
Исключая дг, придём к уравнению
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed