Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
vl = v2 — О,
причём
Р1 > Р?
будем искать решение задачи, как в случае 4.
Крайняя справа (рис. 145) поверхность разрыва будет перемещаться в среде
с величинами р2, р2, с постоянной, подлежаще:
определению скоростью N (рис. 146, линия О А); средняя поверхность будет
перемещаться с постоянной скоростью v', также заранее неизвестной (линия
ОВ)\ наконец, слабый разрыв будет бежать
справа налево с заранее известной скоростью ах — (линия ОС).
Между этой последней поверхностью и поверхностью стационарного разрыва
(средней) будет осуществляться непрерывный переход скорости vK движения
жидкости от значения 0 до значения г/, причём, так как крайняя
характеристика прямолинейна, то и все характеристики, выходящие из точки
О, будут прямолинейны (пучок прямых, обозначенных пунктиром). Нам
остаётся только связать семью соотношениями семь постоянных величин:
р2, &2' N’ Р’
Pi
Прежде всего, так как при переходе через поверхность слабого разрыва
величина 9- измениться не может, можно считать, что
тогда по (37.1) имеем:
VI =
(37.2)
(37.3)
§ 37] ОДНОСТОРОННИЙ ВЗРЫВ 347
Далее, так как характеристика второго семейства ОС прямолинейна и =
const., то мы можем считать, что соотношение
2
у.— 1
а — const.
выполняется не только на каждой характеристике первого семейства в углу
СОВ, но и во всём этом углу. В частности, для линии ОВ плоскости (х, t):
(37.4)
где
/2 а1 ??
7,— 1 ~~ х—1
/ » л, II |!?
Pi pi
причём, по определению
У = »1р;\ (37.5)
Наконец, мы имеем условия на линии разрыва (ОА). Здесь «,+ =°. Р+ = Р2.
P+ = Pr b+ = N — vx+ = N. vx_—v', р_—р', р_—р’, b_ — N— vx_=N — v',
и по (34.2)
? р 2Nv' = p2~p', (37.6)
р2Л(=р'(Л( —?»'). (37.7)
р2 (%+1)р2 — (х — 1) Ра
(x-fl)p2 — (X— 1)|
(37.8)
Уравнения (37.2), (37.3), ..., (37.8) и позволят нам определить семь
неизвестных величин. Чтобы найти движение внутри угла СОВ плоскости (х,
t), нам надо написать вместо (33.4), по аналогии с уравнением (35.4):
dvr , /х + 1 \ dvy Л
* 1 ' -vr —
~дГ~г(±-2~^~и1)~дГ
и искать решение этого уравнения, зависящее от отношения x/t. Это будет
2а, . 2 х
vx — ДДГГ “I Т+Т t ’
Изменение скорости от 0 до v' происходит в ?_COD. Именно, на линии ОС
имеем xjt = — аь т. е. — что же касается наклона линии OD, то он найдётся
из условия
х ? %+ 1 ..г
348
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ. I
после того как v' уже известно. Внутри DOB имеем постоянную скорость v',
постоянное давление р' и постоянную плотность р'.
Для того чтобы найти v', р' и р', заметим прежде всего, что все эти
величины в отрицательной области могут быть выражены через р2, р2 и v2 и
через N. Действительно, по (34.5) имеем
2
“2
г — ж
тогда по (37.6) и (37.9) имеем
2
(37.9)
(37.10)
% +
а по (37.7) и (37.9) можем написать
• (37.11)
Таким образом, остаётся только найти N. Для того чтобы это сделать,
вспомним сперва, что v' и я' связаны соотношением (37.4). С другой
стороны,
»-1 ?/.-!
Cj'2 — x9J/?' х = Х^// Х .
так что мы можем написать по (37.4):
х-1
* / 1 = («1 — ~~~2 v' f
Остаётся только вставить в это равенство выражения для v' и р' из (37.9)
и (37.10), и мы получим уравнение для определения неизвестной величины N:
X — 1
»+1 «2 \ N2
2% /TV\ 2
/ TV \ \ а, )
7. + 1 \ а2 / у. + 1.
. (37.12)
Отметим ещё формулу, по которой можно вычислить 9'. Комбинируя
(37.10) и (37.11), получим
v.-fl (t 2 4\f 2х N2 1
1
4 14-----------V 2--------------------------• (37ЛЗ>
»2 X — 1 V X + 1 TV2 / V х + 1 а\ 7. + 1 J
Поверхность сильного разрыва бежит со скоростью N, оставляя за собой
область со значениями потенциальной температуры 9' постоянной, но
отличной от 92. Позади поверхности сильного разрыва движется со скоростью
v' поверхность стационарного разрыва, после прохождения которой 9 вновь
меняется скачком от значения 9' до
ОДНОСТОРОННИЙ ВЗРЫВ
349
значения р. Простота задачи, только что нами рассмотренной, проистекает
из того, что среду мы считали безграничной. Рассмотрим ещё случай, когда
в начальный момент будет р = рх, р = рг, v — 0 не для всей бесконечной
полупрямой (х < 0), а только на отрезке:
L х L.
Р2> Р ;
v — 0,
На всей остальной прямой пусть будет вначале р ? причем, как и прежде, рх
> р2.
Возникают две поверхности сильного разрыва, бегущие одна вправо, другая
влево (рис. 147, линии ОхА, ОхА ; сзади них движутся поверхности
стационарного разрыва (ОхВ, 0\В). Характеристики 2-го семейства (1-го
семейства), выходящие из Ох (O'), — это пучок прямых. На характеристиках
0ХС и 0'ХС (так же, как
и во всём треугольнике 0\C0i), всюду будет а = ах, v = 0. Внутри
криволинейного треугольника СВОх, сторонами которого будут криволинейная
характеристика
1-го семейства СВ, прямолинейная характеристика 2-го семейства 0ХС и
закон движения стационарного разрыва (прямая) 0ХВ, движение будет
происходить
в точности по законам, описанным выше для случая бесконечной среды.
Аналогичное можно сказать про треугольник СВ Ох.
Зная движение на криволинейных отрезках СВ, СВ' характе-
