Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 70

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 183 >> Следующая

ристик обоих семейств, выходящих из С, мы можем теперь найти Движение в
криволинейном четырёхугольнике СВЕВ'. Движение на СВ и СВ' может быть
точно найдено (с помощью формул этого
параграфа). В частности, легко получается, что:
на дуге СВ характеристики 1-го семейства имеем
Рис. 147.
L_
а,
? 1 Iх
1 х+1
2 х-2
Г"
,2 2 а,/ ’ *—1
а на дуге СВх характеристики 2-го семейства будет
'3 7. — 1 X
- const.,
L_
а,
i * + 1
‘2 х-1
V 2 2 с
причём /. и р. определены по (35.7).
?1
: const..
350
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ. I
Предположим далее, что ч== 1,4. Тогда мы можем использовать формулы
(35.12), чтобы найти Л(Х) и М (р.) по двум условиям, записанным нами на
дугах характеристик СВ, СВ'. Тем самым мы определим движение внутри всего
криволинейного четырехугольника СВЕВ', а значит, в частности, и на
характеристиках BE и В'Е. Теперь мы должны перейти к определению движения
в четырехугольнике ABEF (A'B'EF'). Здесь нам придётся сопрягать решения
вдоль заранее неизвестной линии BF (B'Fопределяющей закон движения
стационарного разрыва. Так как в каждой из областей ВАЕ (.В'А'Е), BFA
(B’F'А') величины & ещё остаются постоянными, то мы можем вновь
воспользоваться формулами типа (35.12) для каждой из этих трехугольных
областей. Начиная от точек А (А'), линия, представляющая закон движения
ударной волны, начинает искривляться; становится переменным и точных
решений, вообще говоря, не будет. Решение можно вести дальше аналогично
тому, как это описано в § 36.
Если устремить L к нулю, мы придём к задаче о плоском взрыве.
Замечательное точное решение этой задачи (с меняющейся энтропией) удаётся
получить, если краевые условия (37.9), (37.10), (37.1 1) взять в
приближённом, применительно к «сильному взрыву», виде :). Именно, при
«сильном взрыве» можно пренебречь давлением перед ударной волной по
сравнению с давлением за ударной волной. Это исследование взрыва «без
противодавления». Пренебрежение это эквивалентно пренебрежению величиной
a2/N по сравнению с единицей. При этом пренебрежении (37.9), (37.10),
(37.11) примут вид
V' я: * 2 ?х. —1 (37.14)
р'я (37.15)
р'я X 1 -х-1 Р* (37.16)
Конечно, формулы (37.14)—(37.16) годятся лишь для начальной стадии
возникновения взрыва; на больших расстояниях от начального положения
давления за и перед ударной волной выравниваются; кроме того, формула
(37.16) не очень точна, так как она получена путём
пренебрежения в (32.11) членом ~ ^ ("ТТ") (если у-—1-4)
по сравнению с единицей.
Однако для первых моментов после начала взрыва можно говорить о большой
точности выполнения условия (37.14)—(37.16). Аналитиче-
’) Ср. аналогичные приближения в стационарном случае, которые были нами
приняты в § 24 при рассмотрении диссоциирующегося газа.
ОДНОСТОРОННИЙ ВЗРЫВ
351
ское решение задачи о взрыве без противодавления было дано впервые Л. И.
Седовым (1946) !). Изложим решение Седова.
Будем искать автомодельное решение уравнений (33.2), (33.3),
с г вин, как эта постоянная выражается через начальную энергию Е0 взрыва
и через плотность р2.
Задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных
уравнений. Именно, уравнение (33.2) приведёт к равенству
Нам надо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (37.21) —
(37.23) содержащую две искомые функции А и V. По отношению к dVjdk и
dAjdk уравнения наши представляют систему двух линейных алгебраических
уравнений. Решая эту систему,
‘) Постановка задачи и численное решение полученной системы уравнений
независимо от Седова дано Тейлором (1941, 1947).
(33.4):
2
(37.17)
(37.18)
где X— безразмерный параметр
(37.19)
так что b — постоянная с размерностью L3t 2. Мы увидим впослед-
(37.20)
Уравнение (33.3) приведёт к соотношению
Наконец, уравнение (33.4) даёт нам равенство
(37.22)
или, если исключить 0 с помощью (37.20):
V— 1
(37.23)
352
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ. I
зх4? = л
гайдём
... V(V-l)(v— -JW-I—йл*
ЗХ -----L, (37.24)
№ r~l) ('^!)’?-'-т11,(1('^-§1 - ('v-т )?л' (--!)[(-4)‘-^j
(37.25)
Если принять в качестве независимой переменной вместо X функцию V, мы
получим без труда уравнение
"-V-1 ^У^(у-1)Ц±-у)а>
(37.26)
не содержащее X. После того как А в функциях от V будет из этого
уравнения определено, останется выполнить квадратуру в уравнении (37.24),
чтобы найти X в функциях от V, а затем найти 6 из уравнения (37.20),
которое можно записать в виде:
{ 2\2
2 V-1 \v—s) ~Л' (37 27)
d.V 3
Наша система содержит три дифференцирования. Три краевых условия мы
получим, привлекая равенства (37.14), (37.15), (37.16), которые должны
выполняться на поверхности сильного разрыва. Равенства эти согласуются
с нашим решением (37.17), (37.18), если считать, что
поверхность разрыва перемещается так, что па ней всегда
X const. Не нарушая общности, мы можем положить на поверх-пости разрыва
^ (37 2g)
(при этом параметр b остаётся подлежащим определению). Поверхность
разрыва перемещается, таким образом, по закону x — x*{t), где
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed