Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
1 1.
х* (t) =
(вторая поверхность разрыва движется по закону х* = —Ь 43). При этом N
найдётся в виде ^N ~ ^-)
2 2 х*
Ч 3 =4 (37.30)
О о t
(37.29)
ОДНОСТОРОННИЙ ВЗРЫВ
353
Посмотрим теперь, как можно согласовать наше решение с условиями (37.14)—
(37.16) при Х=1 (на поверхности разрыва). Сопо-
2 2 х*
ставление с (37.14) нам даёт x*jtV (1) = у у ~ ? значит> нам
достаточно положить
^0)= з—пу - (37.31)
Комбинируя (37.15) и (37.16), найдём затем ^-/.^r=a2\ (д-) ^2(1) = 2-
/.(х—1) 4 /хП2 Р
= 7Гн-1)2-9-Ы ’ °ТКуАа
Л2(1) = |-ТЙП7- (37’32)
Наконец, из равенства $ = р1/*р~1 получим
(37.33)
Таким образом, мы должны лишь при отыскании наших решений
удовлетворить краевым условиям (37.31)—(37.33) и сопряжение будет
достигнуто.
Остаётся ещё найти значение параметра Ь. Потребуем, чтобы полная
(кинетическая и внутренняя) энергия оставалась постоянной, равной
начальной энергии Е0, выделяющейся при взрыве. Это значит, что
X* X*
Г Р vt Г cvoTR
2 / -^-dx-j-2 / ------------------------ dx = Е0 = const. (37.34)
0 о Cp~Cv
1 2 x
Так как p = а *-10 *_1, 7’=— a2, то, используя (37.17),
(37.18) и переходя к независимой переменной X по (37.19), получим
1 г 00 ^ * оо _ х
Li 1
(37.35)
Равенство (37.35) позволит определить b по заданному Ей, после того как
V, А, 0 известны.
Заметим, что в то время как V и А не зависят ни от каких параметров [как
это следует из уравнений (37.21), (37.26) и их кРаевых условий (37.31),
(37.32)], функция б зависит от р2. По (37.33), если принять в расчёт
уравнение (37.27), функция 0 будет пропор-
23 Теоретическая гидромеханика, ч, II
354
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ, 1
*-1
цнональна величине р2 ж . Поэтому интегралы из (37.35) будут
пропорциональны первой степени р2, и мы можем написать
(37.36)
?2
где у. — число, зависящее только от
Остается только решить уравнение (37.26).
Особыми точками уравнения (37.26) в плоскости (V, А) будут точки с
координатами: (0, 0), (2/3, 0), (1, 0), (2/Зх, ос), (2/3, со). По Седову
надо выбрать ту ветвь решения, которая проходит через точку (2/Зх, со),
как единственную, с помощью которой можно сопрячь движение и покой (с
переходом через подвижную поверхность разрыва).
Седов нашёл замечательное решение уравнений (37.26) -- (37.28),
отвечающее этой ветви и удовлетворяющее краевым условиям (37.31)—(37.33).
Оно имеет вид:
# = (37.37)
, 9(-/.+ !)* т„Г*+1 (ЗхУ Л-Г3г?гГоЛ *+1
16
^[^•(тг-*)]' [»(‘ - -г11')]’"1 •
(37.38)
2-Зх - 1
(5у.-1)(1 —у.) ___
X [з(1 — v'jj(2/-1)l2-z)(l_^x-2. (37.39)
Подставляя (37.37)—(37.39) в формулу (37.35), получим при -/. = 1,4 для а
величину порядка 0,6. Уравнения (37.37)— (37.39) вместе с формулами
(37.18), (37.19), (37.36) полностью решают задачу о плоском взрыве без
противодавления.
Аналогичным образом Седов построил решение для цилиндрического и
сферического взрывов. Покажем, как эти решения строятся.
В том случае, когда движение зависит лишь от расстояния г от оси 2
цилиндрической системы координат и от времени, условия адиабатичности,
уравнение непрерывности и уравнение движения примут вид:
(58 . йЭ „
+ % to 2 dt dt 1 г дг 1 г dvr dvr . 2 da a2 t)ln&
dt Vf dr v. — 1 “ dr 7. — 1 dr
a
односторонний взрыв
355
В случае же, когда движение зависит лишь от времени и от расстояния R от
центра сферической системы координат, мы получим:
г»
dt
дЬ
ик~т
?? о,
dv
dv г
R + dvr
+ VrTr
da
2av,
R
dt
dR
- +
= 0; 5In&
x—1 “ dR ~ x—1 dR
Оба эти случая можно объединить с плоским случаем и уравнение
адиабатичности записывать всегда в виде
дх
0,
(37.40)
[где и — скорость (vK, vr или vR), а л: — координата (х, г или R)}, а
уравнение неразрывности — в виде:
ди , 2 (да , да \ , , аи п ,0 7
= ° (ЗМ1)
(v = 1 для плоского случая, v — 2 для цилиндрической и v — 3 для
сферической симметрии); уравнение движения запишется в виде:
ди
~dt
ди
2
да
д In ft
дх 1 х — 1 дх
Движение ищем всегда в форме:
u = ~V (X), а =
1 дх
(37.42)
^v + 2
(37.43)
Решения этой формы действительно удовлетворяют системе (37.40)' (37.42);
аналогом уравнению (37.24) будет теперь уравнение
(v 4 2) X
dV
(v + 2)
•к] А2
dl
(-4т)'
-л2
(37.44)
Вместо уравнения (37.26) теперь будет иметь место соотношение:
dV
»)-[
[/_! +
' (»-D
'/.{v + 2i
А2
(V-Tw) (v’(l"-[)(K- ' W, - v]
A2
(37.45)
23*
356 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. |
Вместо уравнения (37.27) получим
2 \2
d In в 2 V — 1 ' v.
У-rh v<-v-'>(v-47)-'b
V A2
v + 2) J
(37.46)
Заметим теперь, что в формуле (37.9), дающей условие на поверхности
разрыва, т/ имеет смысл нормальной к поверхности разрыва скорости (см. §
2 этой главы). Поэтому при отсутствии противодавления мы опять можем
применить краевые условия (37.14)—(37.16), причём под v' можем разуметь
во всех случаях величину и после скачка. Вновь считаем, что на скачке
А=1, так что закон движения x*(t) поверхности скачка будет иметь вид:
1 2 ** (t) = b'+*tv+2.
Тогда
2 х*
—По 4~>
v -|— 2 t
и мы получим
I//I 18 (у. 1)и
