Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
методе Христиановича.
Чтобы сделать это, заметим, что если мы ограничиваемся первым
приближением, т. е. принимаем
Ср«ср0=:Ф*, =
то пользоваться точными формулами (17.11) и (17.12). дающими х и у через
[i и v, — нет смысла. Более того, если мы в этих точных формулах
используем наши приближённые решения, то выражения
dx ~ tfcp — -Eli |
stop - ..'со,'* - <l7'20>
dy — —rfcp-f- — ? 1 - dty j
не будут полными дифференциалами. Чтобы сохранить в правых частях полные
дифференциалы, мы должны дать новые, уже приближённые, представления
величин 1 jv и р0/рг; как функций от 5. Обозначим
4-= />(5), -|r = Q(5) (17.21)
и исключим ср при помощи (17.2). Мы получим ^ = [pcoSpi/K||-esmPi]^-
-[V'/Ccosprf. + Qsinpf]^,
=[ра» р V* #?- «'# ] 4-
-[VKsb^ + Qcosf^S.
Напишем условие того, что dx есть полный дифференциал. Это будет:
^-[pcospVTc-i— Oslnfli] =
= -^ [^+ «““?#]?
‘) Христианович С. А. и Юрьев И. М., Обтекание профиля при докритической
скорости потока, ПММ, т. XI, вып. 1, 1947.
ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА
139
^.(/>Vr/C) + Q = 0; ^ + VKP = 0. (17.22)
Эти равенства выполняются совершенно точно, если Р— 1/г»,
Q = PoI9v, a VK имеет точное значение (17.3). Посмотрим теперь, чем нам
надо заменить Р и Q, если V К мы заменим на УК оо (в этом заключается
первое приближение). Наши уравнения нам дадут сразу:
p = Cle-S-f-c2e+5; Q = VT(Z(cxe-s — с2е+5), (17.23)
где Ci и с2 — произвольные постоянные интегрирования. Эти
постоян-
ные мы подберём так, чтобы Р и Q равнялись их точным значениям при v =
voa. Так как 5 = In И и так как по (17.3) и (8.9) УК=&УТ^№. где М = -?.
мы можем написать
откуда получаем
Итак, в первом приближении мы должны заменить (17.11) на мв 1
Х=1 •)+*?*? I
| (17.25)
мА ' )
где сj и с2 определяются по (17.24), а функции Ф* и W* как функции от р.
и v находятся из задачи обтекания в несжимаемой жидкости.
Нужно отчётливо помнить, что в то время, как V и (3 суть скорость и угол
соответственно в потоке несжимаемой жидкости, обтекающей данный контур со
скоростью на бесконечности Vw и с циркуляцией Г, функции Ф* и ?*
представляют обтекание того же контура и с той же скоростью на
бесконечности, но с другой циркуляцией — Г*. Как найти эту циркуляцию?
Она получается, как
140
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. i
и для точного решения, из условий однолистности плоскости (х, у),
отвечающей нашему решению. Подробный и простой вывод имеется в упомянутой
статье Христиановича и Юрьева. Оказывается, что надо взять, как и в
точном решении
= ?==. (17,26)
У1 —
Если обозначить комплексный потенциал нашего потока с циркуляцией Г*
через F*, комплексный потенциал <J>-j-*'4r через F, наконец, — z,
то мы сможем написать, в частности:
d(x-^iy) = c1~^-dF:t-^-c2~dF*, (17.28)
~dz
где dF* — комплексная сопряжённая с dF* : dF* — d<b* — i dW*. Приведём
пример. Пусть в несжимаемой жидкости в плоскости (p., v) имеет место
бесциркуляционное обтекание круга радиуса 1 со скоростью Поо на со. Тогда
F* = F=;Vw(z-{-^ (17.29)
и (17.28) примет вид:
d(x^r /у) = Cj dz -f- cj/lo (1 — -L)2 dz.
(Г^ + jT^r-l. 0<r<l.
плоскости Z (= pt —f- /v) к плоскости С ПО
Область |С| > 1 отображается в плоскости (г) на область, внешнюю
ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА
d(x-\-iy) =
по отношению к нашему эллипсу. Равенство (17.28) мы запишем теперь в
виде:
1 dF* . , dF dF^(dZ\2.~ /17,Л,
dz- (17-30)
'Ляции F* = F. Тогда, производя несложные , + ty = с, (С + ?у) ?+ ЫД I +
^-2)- In |=л+с-+ ].
t + r rfl и 1-
1 — 2е
особенности, которые возникают
(17.30) позволит сразу из-за обращения в нуль функций dF*l& и dF/dL За
подробностями мы отсылаем к цитированной работе Христиановича и Юрьева, в
которой показано, что если контур в плоскости ([j., v) гладкий, то на
контуре в плоскости (х, у) возникнут в местах, отвечающих упомянутым
особенностям, угловые точки. Христианович и Юрьев показывают, как можно
избежать появления этих угловых точек в плоскости (х, у) подбором
специального профиля в плоскости (p., v). На рис. 44 дан пример появления
особенностей в контуре на пло- рис' 44'
скости (х, у); здесь М^= 0,333 и Г‘1Ут=1, причём обтекается в плоскости
(р., v) круг радиуса 1.
На рис. 45 дан в плоскости (х, у) гладкий контур, обтеканию которого
отвечает в несжимаемой жидкости (в плоскости (a, v))
~1,0-
/ \
/ \
\
1«« В -ф 4 -0,. 2 0 -0,2 0, 2 0, 4 а f Tl
\
|\ /I
ч -0,8- у
''? = -? (17.31)
"• = 0 = Ж^ + Жл-^(4г* + тН'
^=i(f I1)"'*' <>“»
С другой стороны, мы можем написать приближённо:
|^{yx-VKZ)%-,
§ 17] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 143
а если вставить из первого из (17.17) для п = 1, получим:
Вспомним ещё, что YК» = дУ01д11' мы получим теперь
Аналогичным ооразом найдем, что
Вставляя это выражение в (17.32), используя ещё раз (17.14) и пренебрегая
членами, содержащими <рь по сравнению с членами, содержащими <р0, полу-
(17М>
где V — скорость в несжигаемой жидкости (отличная от V, ибо за циркуляцию
