Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
статье J).
По-прежнему считаем движение безвихревым и скорости всюду дозвуковыми.
Введём прежде всего безразмерную скорость v — vjat
') X р и с т и а н о в и ч С. А., Обтекание тел газом при больших
дозвуковых скоростях, Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940.
и мы будем иметь
?2
<а4,
что эквивалентно условию
§ 17] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. МЕТОД ХРИСТИАНОБИЧА 131
и новую искомую функцию 5 (v), определяемую из равенства
d5==l/" (17.1)
Уравнения (16.12) примут теперь, после простых преобразований, вид
<»•?>
Введём в рассмотрение комплексную величину S — t'P и обозначим через р. -
f- iv некую совершенно произвольную аналитическую функцию от этого
аргумента
p + /v = /(S_/p). (17.4)
d{i дч ’ дч ар '
Так как
ду ду ар_ , ду dS
d^i ар dii dS dii ’
то по (17.5) и (17.2) будет
д? __ лп7 ( д% dS j а^ ар\ л аф
d(i У Д \dS дч ар дч ) ~~ * А дч
Таким образом, если перейти в уравнениях (17.2) от 5 и f то получим:
— 1Гк Й. ду _ аф
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Зная S (а значит, и v), (3, ср и ф в функциях от р и v, мы сможем, таким
образом, найти jc и у по формулам (17.7).
Обратим теперь внимание на то замечательное обстоятельство, что если
?угйО, то dS ^dv/v, так что In v-\- const., а УКя^1. Но тогда при малых v
уравнения (17.5) и (17.6) будут в точности совпадать с уравнениями,
описывающими в плоскости (p., v) движение жидкости, имеющей комплексную
скорость ese~l> и комплексный потенциал ср —|— /ф. При этом, как нетрудно
убедиться, будет jc?=ip,
Обозначим вообще 5 = In К. Квадратурами можно найти из
ГК=Ф(ц \
N
\
/ \
/ \
/ 7= 7т
/
/
/
! 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Ь Рис. 43.
(17.1) выраж
Им<
V (h-uf 1
:леднюю выб| мы имеем
НшХ= Пт -1 ]/- JL 1ЛН1Г
по» u+ihV (h-uf-\\+uf 2hV (Л-!)'1-1
(17.9)
чтобы
‘у1
3,7579.
(17.10)
' (*- l)ft~
(А + 1)Й4
На рис. 43 изображены значения V п УК в функциях от v. Эти же величины
даны в таблице II 2). Мы видим, что расхождение между V и v становится
заметным лишь в промежутке 0,6 а У К близко к единице в интервале
0<Х!0,5. Отметив это, пойдём дальше.
До сих пор функция / в (17.4), связывающая S — ф с p-f-H, была
произвольной аналитической функцией. Попробуем теперь,
') Рисунок и таблица з
а С. А. Христиановичг
ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА
133
сжимаемой жидкости, поставить краевые условия для дифференциальных
уравнений (17.5) и (17.6) следующим образом. Рассмотрим в плоскости (р,
v) некий замкнутый контур С (например, профиль крыла с задней кромкой —
остриём — в точке А) и поставим следующие условия:
1) на контуре С () совпадает с углом наклона касательной к оси р.:
*р=|г на
2) на бесконечности V^— eSc° — заданная величина и рот = 0;
3) если С имеет острую кромку А, то в А V имеет конечное значение. Если
тело острой кромки не имеет, то дано значение циркуляции Г вектора Ve~if
вдоль замкнутого контура, охватывающего С в плоскости (р, v).
Эта группа условий позволит полностью найти из (17.5) функции 5(р, v) и р
(р, v). Следующие условия позволят определить <р(р, v) и ф(р, V):
4) на С ф = 0;
5) на бесконечности
(§1= ^($)„= ^ & 1=- (f)„=0;
6) наконец, потребуем, чтобы x = x(p, v) у=у(р, v), получаемые при
посредстве уравнений (17.5), (17.6), (17.7), давали взаимно однозначные
отображения в соответствующих областях (р, v) и (х, у).
134 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Прежде чем начать интегрировать систему (17.5), (17.6), (17.7) при
краевых условиях 1) — 6), выясним, отвечает ли это какой-либо
гидродинамической задаче вообще и если да, то какой.
Вследствие условия 6), контур С будет в плоскости (х, у) переходить также
в замкнутый контур с (так как уравнения (17.7) определяют X к у с
точностью до произвольных постоянных, то можно добиться того, что точке А
будет отвечать какая-то заранее выбранная точка а контура с). Вследствие
4) на с будет ф — 0; отсюда на с будет
dx — ^Ldv, dy — ^L-d®
d<f Y * д? r
и по (17.7) вдоль контура имеем
Далее, бесконечно удалённая точка плоскости (p,v) отвечает бесконечно
удалённой точке плоскости (х,у); при этом в плоскости (х, у) на оо будет
вследствие 2):
где Voo — то значение v, которому по формуле (17.9) отвечает V — Voo.
Наконец, используя (17.7), получим без труда вследствие 5) на со в
плоскости (х, у):
дер ____ ро 5ф ___— . ду_ _______ ро dip___„
~дх ду Vc°' ду "р^ Их ‘
Если, например, мы сопоставим эти, полученные для плоскости (х, у),
условия с уравнениями (16.1)-—(16.3), то придём к важному следствию.
Всякий раз, когда мы решаем в плоскости (p., v) систему (17.5) ^— (17.7)
при условиях 1)—6), мы тем самым решаем в плоскости (х, у) задачу
обтекания некоторого контура сжимаемой жидкостью, имеющей определённую
скорость на оо. Система (17.5)—(17.7) может быть, однако, исследована
гораздо проще, чем система уравнений для сжимаемой жидкости. Более того,
для (17.5)—(17.7) могут быть легко получены приближённые решения.
