Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
х —~гн лг • (16Л1>
||-=2х(1-т)"^Г^; |
j »+1 (16.12)
ктЁ^о-’»'^)
116 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1ГЛ, 1
или одно уравнение для ф:
А [2, (, - ,,-^г «] + <1 - ,)-^г Ц = 0. (, 6., 3)
Уравнения (16.12) и (16.13) решают вопрос о движении газа, если известна
область переменных х, р, отвечающая этому движению, если дано ф на
границах этой области, если везде внутри области т, [3. функция ф со
своими первыми производными конечна, однозначна и непрерывна, наконец,
если всегда будет
°<т<^Т> т- е- 0<«<в,. (16.14)
и только в отдельных точках контура области может быть т = 0 или т = ^|.
Остановимся на доказательстве определённости вида функции ф,
удовлетворяющей указанным условиям. Применим доказательство от
противного: пусть есть две функции ф1 и ф2, удовлетворяющие нашим
требованиям; покажем, что ф!—ф2 = 0- Функция ф3 = ф1—ф2 в данной области
(т, р) конечна, непрерывна, удовлетворяет уравнениям (16.13) и обращается
в нуль на контуре. Умножим (16.13) на ф3 dxd$ и проинтегрируем по всей
нашей области (т, р). Обозначая результат интегрирования через /, получим
без труда
Н 2^1-1) О—*) +
+ /{2т(1-т)"7:ГГф3^^ +
1 _ _-.±J. х 1 \
+ -2,а-‘)
где двойной интеграл распространён на всю площадь (т, |3), однократный—
на её контур. Но на контуре будет ф3 = 0, значит, равенство / — 0 может
иметь место лишь при условии равенства нулю двойного интеграла, а при
высказанных выше условиях подынтегральная функция в этом интеграле не
может быть отрицательной. Ясно, что надо принять эту подынтегральную
функцию равной нулю, так что внутри области будет везде
= т> е> = const-= °-
В работе С. А. Чаплыгина доказывается, на основании (16.14), что и ср и
ф, рассматриваемые как функции координат х, у, не имеют
§ 161 ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ Ц7
в области течения ни максимума, ни минимума; далее доказывается с помощью
(16.10) и (16.11), что р как функция от ср и ф не имеет ни максимума,
пи минимума, а т не имеет максимума (минимум т — 0).
Отсюда следует, что в области ср и ф не может существовать
зам-
кнутых кривых, вдоль которых х, у, т, р сохраняли бы постоянное значение.
Наконец, из (16.12) заключаем о невозможности существования максимума или
минимума функций ср и ф от т и р.
После того как функция ф, а за ней ср определены, остается ещё показать,
что эти функции действительно представляют функцию тока и потенциал
скоростей, т. е. надо показать, что формулы для ср и ф определяют т и р в
зависимости от х и у однозначно. Для этого достаточно показать, что
якобиан D(x, y)/D(x, р) не обращается в нуль внутри области (т, р);
рассчитаем этот определитель: D (х, у) _ D (х, у) Р(Ъ ф)
?>(т,р) D (ср, ф) * D (т, р)
Но на основании (16.6), (16.7) и (16.1):
Р(*. у) = (1-X)~TZTX-1 Я(?.ф) а\х х+Г
и на основании (16.12)
Отсюда видно, что если всюду будет 1 — ~~Т х ^ т" е' v ^ а*' то равенство
возможно лишь при обращении в нуль обеих производных дф/др и дф/бт
одновременно. Это может быть лишь в исключительных случаях.
Обратимся к задаче о струях. Будем рассматривать течения газа,
преграждённые плоскими стенками, с краёв которых газ срывается, обтекая
затем области постоянного давления. Будем искать частное решение
уравнения (16.13) в виде:
ф = 2„ (т) sin (2яр+ <*„), где zn(x)— функция одного т, а п и ап —
постоянные.
Для определения zn получаем уравнение
118
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. t
Положим теперь:
^ = «>0; мы получим для определения уп уравнение:
+ " ^1} уа = 0- (16-16)
Эго есть известное уравнение для гипергеометрического ряда. Составляя
характеристическое уравнение для показателя р в области
точки т = 0, имеем:
р(р-1) + (2л + 1)р = 0,
Рг = 0; рг= —2 п. для ф, которое остаёт будем иметь, пользуя Уп (т) = F
(ап, Ьп, 2п 4-1; т), (16.17)
= 9*______nh=-!L^L±ill.
ф = A + Щ + 2 BnZn (т) sin (Щ + ап), где п пробегает счётную
последовательность возрастающих положительных значений, А, В, Вп, ап —
постоянные.
Так как газовая струя ограничена линиями тока, то вдоль контура области
(т, р) функция ф должна принимать те или иные постоянные значения. При
этом, если рассматриваемая часть контура отвечает плоской стенке, то
вдоль неё [3 = const.; если же речь идёт о свободной поверхности, то там
будет Р\ — const., и по уравнению Бернулли v — — const., а значит, и
Сравним теперь нашу задачу с задачей о течении несжимаемой жидкости при
тех же граничных условиях, т. е. при том же располо-
§ 16] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ 119
жении стенок, при тех же скоростях в бесконечности и при тех же скоростях
на границе струй. Задача о струйном течении несжимаемой жидкости была
решена по методу Жуковского в части 1. Следуя этому методу, найдём связь
между переменными
ln^L + /p=lnj/~ г» = Ф4-(?,
где Ф и ? — потенциал скоростей и функция тока в соответствующей задаче о
несжимаемой жидкости. Пусть мы получили
w = f{ in/"-v+^); (16Л8>
предположим, что / может быть разложена в ряд вида:
<ш = К + в[\п (/* i-) + <р] + 2 Кп (^)V^
