Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
объединяя их с предыдущими.
Мы имеем таким образом э три типа течений.
1 Можно было бы провести Рис. 57. классификацию и по поведению
характеристик в плоскости (х, у) непосредственно, но здесь число классов
пришлось бы удвоить. В самом деле, рассмотрим направление вогнутости
характеристик в плоскости (х, у). Имеем:
, характеристик [см., например, (10.3)]
5 20j КЛАССИФИКАЦИЯ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ПО ХРИСТИАНОВИЧ}
а по (9.22)
da al /х—1 „ \ 2
2slnacosa3r = -(*+ 1) ^ = - (-^ + sin *)-.
Таким образом,
Кривизна обратится в нуль при значении а — а0, где
sin2a _ 3 — У.
При х—1,4 sinа0 = 0,6325, соответствующее число Маха t Мц — JL = 1,565,
а
Такие точки перегиба на характеристиках отчётливо видны, например, на
рис. 49 и рис. 51 там, где наши характеристики пересекаются с линиями v =
]/2.
Таким образом, классифицировать пришлось бы отдельно для М<М0
и М > м0.
Посмотрим теперь, к какому классу движений принадлежит движение,
получающееся сразу же за «переходной линией» (так мы будем называть
линию, где v = at) в сверхзвуковой области. Отправляемся на этот раз от
уравнений (9.2):
/ 1 2\ dvx / dvx dvv \ / 9 dvv
(^-a)-sr + vxvy (-^Г+лг) + (®, — а)-^Г=° и условия отсутствия вихрей
Вводя величину скорости v и угол (3, так что
«ж = -ОС08р, Vy = VS\n%
мы можем переписать наши уравнения в виде
(cos р -g- + sin Р K)-o% (cos Р Ji - sin Р 4
si" Р & - cos Р ° (со. Р -II + sin Р i
или, если ввести v = vfat и обозначить M—v/a: <М’- 1)(»«Р #+sl.pf) +
i(Si"P H--COSP -
170 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Чтобы выяснить, что будет происходить около линии v—1, рассмотрим сперва
произвольную линию v = const. Пусть Р — точка е
1 линии. Обозначим длину, отсчитанную i линии v = const., через s.
Нормаль е
з дуге от точки Р вдоль ии v — const, обозначим буквой п. Направив ось Ох
по касательной, а ось Оу по нормали к линии г; —const, в точке Р, мы
можем переписать уравнения (20.1)
(М* - 1) sin 8 * (sin 8 ™ cos §-? ) = о,
, dv -( , <Э8 . .
_C0s6___|_t^C0s6-gi- + Sin
Здесь В — угол, составляемый вектором скорости
- 0.
касательной
const, (см. рис. 58). Исключив из этих уравнений dbjdn, мы получили
следующее равенство, связывающее dbjds и dvjdn'.
v§ = (\-M4m 4)^L. (20.3)
Особенно простой вид получит формула V (20.3), когда наша линия v =
const, есть линия перехода, т. е. если v—l. Тогда:
dS
= cos2 В . (20.4)
Заметим, что если нормаль направлена в сторону сверхзвуковой зоны, то
будет dvjdn > 0, и таким образом dbjds > 0.
Рис. 58. Отсюда мы получаем важное следствие:
если перемещаться по линии v == 1, то угол между направлением скорости и
направлением касательной к линии v=\ будет меняться монотонно и именно
так, что если при нашем перемещении сверхзвуковая скорость остаётся
слева, то вектор скорости будет вращаться против часовой стрелки.
Может ли получиться бесконечное ускорение уже на самой линии v = 1 ?
Согласно (20.4): dvjdn — (1 /cos2 В) dbjds. Может представиться два
случая: 1) 8 = л/2, 2) 8 ф л/2. Если 8 = л/2, то вектор скорости
ортогонален в точке Р к переходной линии. Так как при г>— 1 sina = l, т.
е. а = л/2, то в точке v—\ вектор скорости должен быть ортогонален к
характеристикам Значит, когда 8 = л/2, то характеристики будут касаться в
Р переходной линии (рис. 59). Пусть
P = P*(s)
— значения угла р на линии v = 1 в функциях от длины дуги s.
§ 20] КЛАССИФИКАЦИЯ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ПО ХРИСТИАНОВИЧУ 171
отсчитываемой от точки Р. Дифференцируя это соотношение вдоль дуги,
получим
|LCoS(p_a) + -|Lsin(p-8) = -gl
(как и прежде, 8 — текущий угол, составляемый вектором скорости с
направлением касательной к линии г>=1, так что ? —8— угол наклона
касательной к линии v = 1 к оси х). Кроме того, дифференцируя вдоль
кривой 0=1, имеем:
относительно производных, получ: .8 (Р — а) ЧГ ду _ sin (Р - 5) dr
cos2 8 ds ' дх cos2 5 ds
n^ d$ _ cos f* d$*
is Ь ds ' dx ~ cos 8 ds что в точке P(s = 0) 8 = л/2. Около п
8=т+(1-)/+(-ё-)01+(4!г)„ж+""
! dvjdy, например, имеем
' (db* \2
\~dTL s2 + °(s2)
172
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ.
Для ограниченности производной необходимо выполнение равенств
Таким образом, для возможности непрерывного перехода от дозвуковой
скорости к сверхзвуковой в том случае, когда в некоторой точке линия
перехода ортогональна к вектору скорости (например, на оси симметрии
сопла Лаваля), необходимо выполнение специальных условий (20.6)
относительно равномерности потока около этой
Если линия ^=1 сама является характеристикой (или во всех точках касается
характеристик), то для непрерывности движения условие (20.6) должно
выполняться во всех точках этой линии, т. е. должно
и линия перехода должна быть простой прямой. В противном случае на всей
линии перехода мы будем иметь бесконечные значения наших производных, т.
е. бесконечные ускорения, и тогда движение нельзя продолжить за линию
перехода (сама линия перехода будет предельной линией) и всё решение не
будет иметь физического смысла. Простейшим примером такого решения может
