Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
(14.19)
Рл. I VXt \2 27.
и принимая вместо (14.20)
№
(14.31) суть
изучены со всюду Прежде э точную
Формулы (14.30) формулы Релея.
Значительно больше движения, происходящие дозвуковыми скоростями, всего
нужно упомянуть з
l_ /if теорию струй сжимаемой жидкости,
s принадлежащую Чаплыгину; дока-
Рис. 41. заны также теоремы существования
(Франкль и Келдыш, Христианович); разработаны эффективные методы
приближённых расчётов (Христианович, Некрасов и др.) и даны
приближённые оценки влияния сжи-
маемости (например, теорема Прандтля — Глауэрта (см. § 29)). Прежде чем
переходить к изучению движения при дозвуковых скоростях, остановимся ещё
несколько на исследовании вихревого движения и дадим приём построения
различных классов вихревых движений как с до, так и со сверхзвуковыми
скоростями.
§ 16. Функция х* Примеры. Точные решения. Если движение безвихревое, то
система двух уравнений в частных производных (9.5), (9.3) первого порядка
с двумя функциями vx и vy может быть заменена одним уравнением второго
порядка с одной функцией. В самом деле, при 2 — 0 существует потенциал
скоростей Ф, так
Вставляя его в (9.3), мы получим наше уравнение:
1)^ла — Ф2) — (Х — 1)ф2| — АФФуФхуН-
+ [(* + 1) («2* - ф2у) ~ (* - О ф1\ = 0- (15.1)
ФУНКЦИЯ у . ПРИМЕРЫ. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
107
заменяющее, в случае сжимаемого газа, уравнение Ф^+Фуу = 0, имеющее место
для несжимаемой жидкости.
Рассмотрим, однако, общий случай, когда движение вихревое, т. е. Q-Ф 0.
Функция Ф здесь не существует, однако мы можем ввести некоторую новую
функцию и построить для неё единственное уравнение в частных производных
2-го порядка, линейное по отношению ко вторым производным и решающее
вихревую задачу. Чтобы построить эту функцию, перейдём сперва от
независимых переменных х и у к переменным k и ф, где ф(х, у) есть
введённая выше
05.2)
и условия адиабатичности
(15.3)
! уравнений
(15.4)
(15.5)
(15.6)
Замену переменных очень легко сделать, если написать сперва по (15.6):
dty = ^dx + -^dy==~poydx-\-pvxdy (15.7)
и затем, заменив х на
dx = dl, (15.8)
решить (15.7) относительно dy:
= ^ + (15.9)
Мы можем теперь написать:
ду vv
-k=T~’ (15Л0)
(15.11)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (:
м перейти к переменным ? и ф в (15.5). Получим:
х \ д$ дф дх) ' Vy с>ф ду р дф ду ' 1
Теперь мы можем легко построить то единственное уравнение,
о котором мы говорили. Из (15.13) заключаем о существовании
функици х(5. ф) такой, что
р = ж- *, = -?&• (15.14)
I принять в ра-
У--($)'
то уравнению Бернулли
Уравнение (15.11) можно представить, используя (15.3) и (15.14),
,Л"'"1/Х1 (15.17)
Правая часть уравнений (15.15) и (15.17) не содержит функции у;
перекрёстным дифференцированием мы исключим таким образом у и получим
одно уравнение для определения функции х> уравнение, о котором мы
упоминали выше:
®2Xw + 2 ,г* - 1АХ<|4 + ^ Х$ * ( Хф ~ + *ЭХ? * ) Х?5 =
Мы считаем всегда & и /0 заданными функциями ф. Определив из уравнения
(15.18) функцию ф), мы можем затем, путём простых квадратур, найти у(|,
ф) из уравнений (15.15), (15.17). Линии тока в плоскости (х, у) будут
таким образом найдены: достаточно положить
„ -1/x 1
^“2Si> 7;
si* !
Ail
-C-! 5 О
«I* s **
ii s *1* "
*\* I
ч
If:
§!!
If
sl
1*1 , s !
sl&la.'S и s8 г * «, ? *4" «5 II 4s »ё II « II .
i I |H! i II-
S,!
i ! i i! i
=|У;?=,:гГо
y = f(4 (15.29)
Пусть на обтекаемом контуре ф = 0. Тогда, вследствие (15.29), должно быть
Л (/>) ^ (/>(/>))• (15-30)
Но по (15.26)
sirT^T мп(атР) = —^-sin^Tp) (15.32)
^_=_^^С08(:а_|3)>
<?lf =1#
можно записать (15.23) и (15.24) в виде: *=;F |
(15.34)
<«тР)Ф+/*</>>• !
К с==оГГЛЙТ(уфрГйй & Ч" 0
и что р и sin а связаны, вследствие (8.10) и (15.35), соотношением
(*+!_) 7=Т^ + c(g2 а^У "ГГ- cos (а _ р) ^ + Л {p)i
(1 + ^тт «У ^siI1 (- * »*'+Л <Л
Тог a б ет Л^Л = 0.
I = tg0 = fg(« + P).
далее будет « = <* + &
114 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. Г
§ 16. Дозвуковые скорости. Теория Чаплыгина. Примеры.
Переходя к движениям, происходящим со всюду дозвуковыми скоростями, мы
начнём с точных решений, получаемых в явном виде. Эти решения были даны в
замечательных работах Чаплыгина, содержащих обобщения теории струй
Кирхгофа — Жуковского на случай безвихревого движения сжимаемой жидкости.
Имеем безвихревое движение и берём уравнение Бернулли в виде:
Р = Ро (1 ~ х-Гг'Л~> (16Л)
57'
Оставим 9 и ф в качестве искомых функций, но введём в качестве
независимых переменных вместо координат х ш у величину скорости v и угол
наклона [3 скорости по отношению к оси Ох. В этом и заключается
преобразование Чаплыгина.
Прежде всего имеем:
vx = vzo%$. vy~v sin p. (16.4)
По (16.4), (16.3), (16.2) будем иметь:
d(? = $Tdx + Ж7 = О (cos р rfx-ь sin Р )
Решая эти уравнения относительно йх и dy, получим:
лучим^сперва JJ/p по (18.1) зависит лишь от о):
складывая. (1М
!?-='’ft- <16'9
Представляя р„/р по уравнению Бернулли (16.1), будем Иметь:
у4=Л
*+1 а]
v2 1
Х-Гю» —
1~Т+ТЖ
где М = гг/а. мы можем написать вместо (16.8)
