Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
подъёмной силы, ибо здесь будет Су1 — 0, Су2 < 0.
Выбрав контур конкретной формы, мы можем заранее подсчитать все
коэффициенты, стоящие в Сх и Су при разных степенях Р; мы получим тогда
как для Сх, так и для Су выражения в виде полиномов четвёртой степени
относительно р. Исключая р, получим Сх в функциях от Су.
Остановимся более подробно на расчёте сил, действующих на пластинку (рис.
38).
Здесь мы имеем точные формулы как для верхней, так и для нижней частей
профиля. Для верхней части пластинки имеем по (14.5) и (12.2)
Ро = а1~ j/" 7ТГагс‘&(|/" TZTr^i) —
— (14-14)
где otj — угол Маха набегающего потока (sin = 1/M). С другой стороны, для
коэффициента давления Ср имеем здесь:
§ 14] КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 101
Если Р < — ’ Т0 Рв НЗД0 СЧИТаТЬ Равным НУЛЮ (Рпред^
Отметим теперь два весьма важных обстоятельства. Во-первых, формула
(14.19) получена линеаризацией по отношению к 1/М, а не по отношению к
ро. Структура её такова, что линеаризация её по отношению к ро даёт
неточные результаты. Поэтому формула (14.19) более точна при больших М,
чем линейная формула. Во-вторых, формула (14.19) содержит комбинацию К =
Щ0.
Эта комбинация характерна для гиперзвуковых течений, в чём мы убедимся в
дальнейшем при рассмотрении общей теории таких течений (см. § 23).
По (14.15) и (14.19) мы получим
= <14-20>
Закрепим значение К. Тогда, по (14.19), рв/р1 будет закреплено, а по
(14.20) коэффициент давления окажется пропорциональным квадрату угла
наклона пластинки.
Для нижней части пластинки имеем ещё более простые формулы. Именно,
аналогично (14.15) пишем:
Но теперь для определения отношения pjpx используем формулу (7.15), по
которой
(14.22)
где V — тг/2 — ср — угол наклона поверхности разрыва к оси х. Теперь мы
имеем по (14.22) и (14.21)
+ (14.23)
С другой стороны, деля (7.17) на (7.16), получим
чг ftr= ттт "(*>»’»?—йт) [1 - ттт К—-т)]"-
(14.24)
Внося v из (14.23) в формулу (14.24), получим явную зависимость tg (30
Остановимся опять на гиперзвуковых движениях. Здесь угол v будет мало
отличаться от ро (см., например, построение v по рис. 4
102 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
и 5). Между пластинкой и скачком образуется очень тонкий слой весьма
уплотнённого газа. Картина течения напоминает ту, что отвечает теории
Ньютона; согласно последней, частицы воздуха ударяют о тело и затем
продолжают двигаться уже по поверхности тела. Надо отметить, что для М 1
сходство с теорией Ньютона оказывается не только качественным, но и
количественным. В самом деле, легко можно убедиться в том, что при очень
больших М и небольших р0 коэффициент давления будет пропорционален (З2,
как Это следует из теории Ньютона. В самом деле, сначала заметим, что по
(14.24) при малых | v [ (а значит, и малых |j30|) величина sin2 v— 1/М2
будет малой более высокого порядка, так что приближенно можно записать
sm" (sin2v-^)-
Заменяя здесь sinv на v, cosv на 1, tgf)0 на fi0, получим
.„i+ip.H-/ (14.25)
или для очень больших М:
(14.26)
С другой стороны, по (14.23) имеем
(И.27)
или для м»1 Cp^—J-V2, т. е. по (14.26) «(*+ 1)Р2.
По Ньютону мы должны иметь Ср — 2$. Обе величины будут совпадать при ч=1.
Любопытно отметить, что выражение для скорости звука |/*/?Т будет
совпадать с выражением ньютоновской скорости ]/ RT также, если и=1.
Формулы (14.25) и (14.27) для М 1 ближе к точным формулам, связывающим Ср
и 8п. нежели аналогичные линейные формулы. Действительно, по линейной
теории мы имели бы просто (стр. 98)
с»=“'1М = 7йггг'У-На рис. 40 нанесены значения Ср для величин М = 3, 5 и
10 соответственно по точным формулам (14.23), (14.24), по линейному
закону и по формулам (14.25), (14.27). Из рисунка видно, что при М = 5
формулы (14.25), (14.27) дают почти точные, а при М= Ю — весьма точные
результаты.
§ 141 КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ЮЗ
Так же, как и для верхней части пластинки, характерной величиной будет
произведение К = MfV Именно, комбинируя (14.27) и
(14.25), можно написать:
Ч = 4т