Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
окажется < фд, то надо просто положить 2Pl = 0. Определив скорости в С и
Р2, мы можем по указанным выше рецептам найти в этих точках 2, а также
построить характеристики CQj и P2Qx. Скорость в Qj (не обозначена на
рисунке) найдётся затем как пересечение в плоскости (vx, vy) элементов
линий (9.18) и (9.19), отвечающих точкам С и Р2 и т. д. Наша задача,
таким образом, будет решена.
Формулы (9.18) и (9.19) представляют то неудобство, что в правые части их
входит dx; таким образом, мы как бы отдаём предпочтение координате х
перед координатой у, в то время как они равноправны. Вспомним, однако,
что направление прямой (9.18) или (9.19)
(xPl — xNl).
(13.6)
^ = И йх +17 dy = — р К ~ y'ivx)dx
Дф - - рв (% - y'2jjVXB) (xPi - Хв),
причём
§ 131 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ОКОЛО ВОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ 85
[где вместо dvx и dvy стоит vx — (vx)M, и vy — (®У)Л'] легко
определяется; чтобы провести эту прямую, нам, таким образом, достаточно
узнать, на каком расстоянии 8 от точки М' плоскости (vx, v ) она
проходит. Согласно известному правилу аналитической геометрии, чтобы
найти 8, приведём (9.18) и (9.19) к нормальному виду, умно-У2
"
мент дуги ds вдоль характеристики первого семейства будет dsl — Ydxi-\-
dy2 =\dx\Y 1 -f- у'2, а вдоль второго
ds2 — | dx | \ + у'2,
мы получим величину 8 в виде:
I V1+/^!+^ I
Но
У\ Уг _ УМ __
V ^ +У1 V1 +У2 V 1+У\ + У* + У? Уг
^___________У№___________
У'(у[+У2У + {1-У1У2?
и вследствие свойств корней квадратного уравнения (9.11):
* 1 + У1 * 1 + у 2 ^
Таким образом,
-Qds, , ; Q = -
86 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Рассматривая (9.13) и (9.14), легко убеждаемся, что, так как
/ / /ч . Уv2 — а2
Sign (У! — У2) = Sign — 2—-2 ?.
sign np^S = Sign |(У; — у'2)-~ dх} .
Для практических вычислений удобно, как всегда, ввести безразмер-v, а,
... соотноше-
-де I — произвольная величина. Замечая, что а\ = x9Jp?-1, и заменяя )
(13.7) а2 по уравнению Бернулли, мы придем к следующему выраже-
играть роль линии ANn (рис. 35). Рассмотрим теперь пример. Пусть на
неподвижную пластинку АВ, наклонённую под углом Зо«Ю к оси Ох, набегает
поток, обла-
§ 14) КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 8?
дающий сверхзвуковой скоростью vx > параллельной оси Ох. Посмотрим
сначала, что происходит вблизи пластинки. Над пластинкой, начиная от
точки А (рис. 38), поток будет непрерывно поворачиваться до тех пор, пока
не станет параллельным направлению пластинки (см. предыдущий пункт:
обтекание угла, большего чем я); далее, от точки В пойдёт линия сильного
разрыва; пройдя сквозь неё, поток снова станет параллельным оси Ох (см.
начало этого пункта: движение внутри угла, меньшего чем я). Под
пластинкой в точке А начнётся разрыв, и поток станет параллельным к
направлению пластинки; около же точки В вдоль характеристики поток начнёт
плавно поворачиваться (обтекание угла, большего чем я) до тех пор, пока,
пройдя последнюю выходящую из В характеристику, не станет вновь
параллельным оси Ох. Отметим теперь точки Е и D, в которых линии
прямолинейных разрывов пересекаются с крайними характеристиками BE и AD,
проходящими через В и А соответственно.
Характеристика EF, идущая через Е, будет, очевидно, играть роль
характеристики ANn на рис. 35. Таким образом, от точки Е начнется
искривление линии разрыва, образование вихрей и искривление
характеристик; аналогичную роль играет характеристика CD. Таким образом,
на больших расстояниях от пластинки Рис. 38.
движение будет носить весьма сложный
характер. Так, по Ландау, там должны возникнуть дополнительные
поверхности разрыва. Мы можем ожидать, что только в области
Ур<У<Уо
мы будем иметь сзади пластинки скорости, постоянные по величине и
направлению. Заметим при этом, что скорости будут различны сверху и снизу
от линии, проходящей через В параллельно оси Ох\ в этом легко можно
убедиться из рассмотрения эпициклоид плоскости (vx, Vy) и гипоциссоид.
§ 14. Крыло в плоскопараллельном сверхзвуковом потоке. Приближённые
формулы Аккерета, Буземана, Донова. Гиперзву-ковые движения. Парадокс
Эйлера-Даламбера справедлив не только для несжимаемой, но и для сжимаемой
жидкости, но лишь для случая дозвуковых скоростей. Крыло, двигающееся со
сверхзвуковой скоростью, обязательно подвергается действию сопротивления
(так называемого, волнового) и подъёмной силы, причём эти силы, вообще
11. I
90
-^ = 1+*зРлН-/4рлг+.... (14.4)
/4 = ^^МЧМ2-1Г3[4 + 2(*-2)М2-(*-1)М4].
To замечательное обстоятельство, что ряд (14.4) не содержит первых
I
в
II
в
_-|о-
I
в
-<+г
II
94 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Ъъ = - (М2 - 1)-7/2 [| ?+1 м2 +1 (* ?- 1) МЧ- —'~152Х + 3 м6], ь\ = -
(М2-1)-5 (~ +J-м2 - м4 + —-у16*8 м6-ь
+ 3-2х-5х» + 4к» m8_„3-8x_+^-2,3 м10^ Мы можем написать теперь:
Рлг + ^ (-^-) — $N + ^ ("^) 4- ^ (~) — с (—) =
=с(*)+(?§?).„, К”» - *?) -1<г - "Ji+
=с 4)+v'v Ш к** - +("< - к) pm+
4 vfi" (-%L'j ь1 (b3 — *з)Р^+ б. м. 5-го порядка, (14.12)
причём
4Й-=-(4Ц=^г—^
Итак, мы можем выразить правую часть уравнения (14.10) через через Н и
