Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
через известные величины; при этом $N входит в степенях не ниже, чем в
третьей. Тщательный анализ, на котором мы не можем здесь останавливаться,
позволил затем Донову выразить Рд, через координату хм точки М и через
величины, характеризующие наклон и кривизну контура в точке О (на
передней кромке). Именно, привлекая характеристику первого семейства NS,
а также исследуя вид линии разрыва и обеих характеристик, Донов
показывает, что
Рл[=Ро+^-л:Л1Ро(^|)0+ б. м. третьего порядка, (14.13)
е0 = (М2 — l)"v*. е, = Z±L М4 (М2 — I)"2 ,
a d$/dx — производная- по х от угла (Зв, вычисленного как функция одного
х для верхней части крыла:
Р = Р(х, УВ(Х)).
It
10
1
Si
Ш
ФР
”!l if №
Hkfi
ж
ifh
Hi
+
«
ф ;
ii
I «s |«s
I ill I
[ii>*
I' ?
?11
iiiii
ИН
«pi-
ll
.V
* +
ii
si
ЛР
I i i!
fiil
* л П
?® i-s
+ f. 4 ? 7 Ii
fiif
VW
96 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
рв(0) — угол наклона касательной к контуру (верх крыла) в точке О,
коэффициенты имеют следующие значения:
PiH «7= -г.
а1 = 2(Мг —
а2 = (М2 — I)-2 (2 — 2М2 + •—- М4); аъ = (М2 - l)”7’ - 2М2 + 4 (•/ +
1) М4 -
а4 = (М* - ! Г6 (4 - | М2 + Мч _ j?i±«pUW Мв +
_1±^^^М10+з±^М12|; аы = Л+i м4 (М2 - 1)-72 (- j + ф- М2 + фф М ‘): аи =
М4 (М2 - 1Г5 (- ф- + -5.±ф2*2 М2 -
- 10..+..ф6®±.® М4 + 9-7g + 2x3 м6 + -З + х + Э**-»» М8^.
аы = М6 (М2- I)'5(- ^±L + 7 + 2;~5lc2 М2-
_ 4-э>_6»» + х» М4 + А-7*-7^ + 3»3 м«); % = MVM2- I)-5(- 1 + ф М2 + -3-ф
М4).
Совершенно аналогичным путём для точек нижней части крыла найдём:
Ра = Pi + ч [- «!?„ + e2PS - «3?3н + в4& - «К*Р® (°) + «2^ (°) +
+ °3</Рв (°) Р„ + a4dPu (°) {~ш)о Х] + б' М' 5'Г° П°РЯДКа-
§ И) КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 97
Остановимся на характере различных членов, входящих в наши формулы. Если
бы мы пожелали ограничиться вторыми степенями р, то нам надо было бы
сохранить лишь члены с flj и а2. Мы получили бы приближения Аккерета и
Буземана. Далее, члены с ах, а2, а3, й4 — это как раз те члены, которые
получились бы, если бы мы из уравнения эпициклоиды (14.6) нашли v в виде
ряда по степеням р и, вставив это выражение v в уравнение Бернулли (14.7)
(при & = &х), ограничились бы затем четвёртыми степенями р. Так, если рв-
<0, то, как мы уже говорили в начале этого пункта, линии разрыва OQ не
будет, и тогда членов с аы, a2d, аы, аи не надо брать вовсе при
вычислении рд. Наличие разрыва (рв0 > 0, рн0 < 0) порождает
члены с axd a4d в рв и рн. Это — члены третьего и четвёртого
порядка малости. Интересно отметить, что влияние кривизны контура в точке
О (и следовательно, влияние вихреобразования, ибо если контур прямолинеен
около О, то по крайней мере на некотором участке, прилегающем к О, вихрей
не будет) появляется лишь в четвёртом приближении — это член, стоящий при
a4d.
Переходя к вычислению Сх и Су по формулам (14.1), (14.2), введём вместо
углов [5 углы, отсчитываемые от хорды ОР крыла; именно, обозначим
Рв = р + & ?« = $+&
где ?3 — угол наклона хорды ОР к оси Ох (на рис. 39 — отрицательный). В
качестве переменной интегрирования в интегралах (14.1),
(14.2) удобно взять длину t, отсчитываемую по хорде ОР от точки О.
При этом
dt = cos^BdS3- dt = cos$'a dSa,
что же касается хв и хн, входящих в давление, то их следует рассчитать по
формулам
xB — t cos р — sin р f tgftdt,
xH = tcosfi — sin p J tg jVndt.
Тригонометрические функции углов p, которые входят в формулы (14.1) и
(14.2), надо, конечно, разложить в ряды, ограничиваясь членами четвёртого
порядка. Производя элементарные выкладки, получим окончательно
C* = CjrJ + Cjr,-bC.r4-)-6. м. 5-го порядка,
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
где
+-у- / (р;2+р;,2) л. c«=^?-f №-к') <«+??-/ (p:'-p:V. С„ = (2а3 - ^) р4 +
fllBp [р + pi (0)f + я1нр [ р + Р« (О)]3+ +т(6аз--т)^ / (р;*+р-2)л+
+ -у (4а3 — 4г) Р / (Рв3 + Рц3)dt + т (аз + х) / (Рв4 + Рн4)dt
С’у = Су1 + Су2-)-Суз+Су<+б. м. 5-го порядка,
Су! = ~ 2в,р.
Сл = -х/ (Рв2-Рн2)^.
СУз = (в1 - 2а3) Р3 - в1в [р + р; (О)]3 - аы [р + pi (О)]3 +
+ i (а, - Зй3) Р / (р;2+р;2) dt+- а3) / (р;3 + р;3) dt:
сУ4=- а2в [ р+р: (О)]4 + а2н [ р+р; (О)]4 - язвр [р+р; (0)j3+ + ЯзвР [Р +
Рн (О)]3 - ~а4в[р + Рв (О)]3 (4у)0 +
+ Y «4н [Р + Рн (О)]3 [%\ + 4 (4 «2 - 6а4) Р2 / (р;2 - р;2) dt +
+Ц5а2-4а4)$ f (р;3-р'a')dt-*rf (р;4-р;4)^.
В этих формулах надо положить
§ 14] КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 99
если р-НРв(0)>0 (если линия разрыва сверху), и
если Н-Рв(0)<0 (нет линии разрыва вверху); аналогично, алн = аяД»=1, 2.
3, 4), если Н-Рн(0)<0
аян = 0(л=1, 2, 3, 4), если р + р'(0)>0.
Коэффициенты ах а4, аи, ..., a4d вычисляются по-прежнему.
Что же касается вычисления интегралов, то оно в отдельных конкретных
случаях сильно упрощается. Так, например, если контур крыла симметричен
по отношению к прямой, перпендикулярной к ОР и проходящей через середину
ОР (например, если контур есть дуга круга), то будет
J P'^=J $/3dt = 0.
Отметим, что если р = 0 и рн =0, мы должны ожидать отрицательной
