Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
линия. Таким образом, все характеристики первого семейства в нашей задаче
будут прямые лиги! (характеристики второго семейства будут, конечно,
криволинейны). Отметим, что, как в этом легко убедиться из рассмотрения
эпициклоиды, выпуклость контура ведёт к тому, что, по мере продвижения
вдоль контура «вправо», мы будем встречать всё большие
5 12] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ВНЕ ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТИ 71
и большие значения скорости, причём характеристики первого семейства
будут становиться всё менее и менее наклонными к оси Ох.
Рассмотрим теперь задачу об обтекании угла.
Предположим, что контур при л: < 0 совпадает с отрицательной ветвью оси
Ох, а при х> 0 имеет уравнение у = — (рис. 24); по-прежнему над
горизонтальной стенкой
vx = v1(> a*); vy — О, и мы можем провести характеристику первого
семейства О А, построив предварительно точку М'(vv 0) в плоскости (vx, v
). Далее, начинается обтекание угла, причём поток должен в конечном счёте
пойти вдоль стенки ОВ (рис. 24); чтобы найти величину скорости этого
нового потока, достаточно найти пересечение N' характеристики второго
семейства, проходящей через М', с радиусом-вектором в плоскости (vx, vy),
параллельным направлению О В. Опреде-лив N', проведём характеристику
перво-го семейства ОС. Мы можем сказать, что Рис- 24.
в угле СОВ поток будет обладать всюду
постоянной скоростью, параллельной линии ОВ. Поворот потока совершается,
таким образом, внутри угла АОС. Пучок прямых, выходящих из О (в том числе
О А и ОС), представит там характеристики первого семейства, причём во
всех точках каждой такой прямой, выходящей из О, скорость будет иметь
одно и то же значение, легко определяемое из рассмотрения эпициклоиды
второго семейства, проходящей через М'.
Движение внутри угла АОС легко построить при помощи (11.4); именно, для
обтекания точки будем иметь просто
У — лг tg ф -)- а) = 0. (12.1)
С другой стороны, по (10.6), в нашем примере будет Р + «=-|/"Йт arctg-
j/"J^ctgaH-
+ а1+/'йл arctgj/"~qp~i ctg alP (12.2)
где ax — угол Маха, отвечающий скорости vl (когда (3 равно нулю), т. е.
угол между прямой ОА и осью Ох, причём на основании (9.22):
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ (
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Но (12.1) можно записать так:
tg(P+«) = -? = te8 «ли Р + “=0.
где 0 — полярный угол в плоскости (х, у), отсчитываемый от против часовой
стрелки. Введём ещё угол 0Х, отсчитываемый г вой стрелке от некоторой
новой полярной оси из условия:
01 = а1+|/Г ^arctgjA^ictg^-e.
Тогда (12.2) и (12.3) дадут:
/"Slarctg/^ctga=01
По этой формуле, вспоминая выражение для ctg a (10.4), можем найти
величину скорости на каждом q .q / радиусе-векторе, проходящем через
иа-
координатах будут:
:. 25.
(г — радиус-вектор, vr — проекция скорости на радиус-вектор; v9 —
проекция скорости на перпендикуляр к радиусу-вектору); при этом, так как
радиус-вектор есть в то же время характеристика, а угол между скоростью и
характеристикой есть а, то
- = ctg а
I можем написать.
куда для линий тока окончательно получим:
е г0 — радиус-вектор точки, в которой 0j=O.
На рис. 25 сплошными линиями изображены две такие линии 1ка. Полярная ось
расположена в области, в которой происходит
76
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
обратим внимание на точку В контура трубы, находящуюся на характеристике
второго семейства, проходящей через ту точку А оси трубы, в которой мы
уже получили нужную нам скорость vx. Пусть Мх, М2, . . ? суть точки
пересечения этой характеристики с густой сеткой характеристик первого
семейства. В плоскости (vx, vy) точкам В, Мх, М2, .. ., А пусть
отвечают лежащие на одной
и той же эпициклоиде второго семейства точки В', М\, Л12, А'
(рис. 30).
Мы желаем получить «справа» от А поток, параллельный оси Ох и имеющий
повсюду скорость vx. Но тогда характеристика первого семейства,
проходящая через А, должна оказаться строго прямолинейной, и направление
её известно. Тогда в соответствии с тем, что мы уже говорили при решении
задачи 3, и все характеристики первого семейства,
выходящие из Мх, М2 также будут
строго прямолинейны. Это означает, что скорости всех точек, лежащих на
характеристике, идущей из Мх, например, будут
равны по величине и направлению скорости
точки Мх. Достаточно поэтому проделать следующее построение: в точке В
продолжаем стенку по касательной до пересечения в точке С с
характеристикой МХС (прямой). Рис. 30. От точки С мы должны затем
направить
стенку параллельно скорости в Мх (т. е. параллельно лучу СШ1,рис. 30) и
идти так до пересечения в D с характеристикой M2D\ начиная от D,
направляем стенку параллельно лучу ОМ‘2 и т. д. Так мы
дойдём, наконец, до точки Е
(рис. 29), после чего контур следует взять параллельным оси Ох.
Заметим, что отношение ширины рабочего сечения трубы к ширине
критического сечения мы могли бы получить заранее из условия равенства
количества движения в этих обоих сечениях:
(F*— ширина критического сечения; р* — критическая плотность; F — ширина
сечения с потоком tv, Pj — плотность при скорости г^). В таблице на стр.
