Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Vx-=Vl' Р- = Ру P_=Pr vx+=vx' Vy+=Vy’ Р+=Р’ Р+ = Р-Пусть ещё угол наклона
(я, х) нормали п в точке М поверхности разрыва будет ср. Тогда, так как ©
= 0, имеем прежде всего
— 0+= !/„+ = ©.,.cosср-(-©у sin <р, (7.8)
— Q_=Vn_=vlcos<o, (7.9) а используя (5.12), получим:
Р\
©jCOS ср — у.-— _______
откуда без всякого труда найдём р/р{ через tgcp:
-l+2-i-(l+tg*9)
40 теоретические ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
= vz_). Имея гипоциссоиду (рис. 5) и зная направление ON, а значит, и
величину ON скорости V+ после прохождения разрыва, соединим двойную точку
Р гипоциссоиды (OP = V_) с точкой N и опустим на продолжение прямой PN
перпендикуляр из точки О до пересечения с PN в точке Q. Очевидно теперь,
что направление OQ таково, что проекции на него V+ и V_ одинаковы. Нам
остаётся только перенести это направление на плоскость (х, у), чтобы
получить нужное направление кривой разрыва.
Заметим, что всякий луч, выходящий из точки О, пересечёт гипоциссоиду,
вообще говоря, в трёх точках (рис. 5). Однако, в силу теоремы Цемплена,
точки N', расположенные на уходящих в бесконечность ветвях гипоциссоиды,
рассматривать не следует. В самом деле, желая получить при помощи точки
N' направление касательной к поверхности разрыва, мы должны опустить
перпендикуляр OQ', но тогда Q'N' есть нормаль к этой поверхности и
QrP=Vn(?N' = Vn + , так что, вопреки теореме Цемплена (§ 5), имеем:
Vn+ > V„_.
Точки N и N" обе допустимы с точки зрения теоремы Цемплена.
Ветвь гипоциссоиды, содержащая точки типа N', также может быть
использована. Для этого достаточно поменять местами знаки плюс и минус
при выводе формулы (7.14), положив OP=V+, а векторы типа ON' принять за
VТеперь гипоциссоида будет совокупностью точек, изображающих концы
векторов тех скоростей, которые после прохождения разрыва могут совпасть
с ОР. При таком толковании гипоциссоиды точки типа N не могут быть
допущены по теореме Цемплена.
Сказанным здесь относительно сильных разрывов мы пока ограничимся; мы
вернёмся к ним уже непосредственно в приложениях к конкретным случаям
движений.
§ 8. Критическая скорость. Трубки тока в сжимаемой жидкости. Мы знаем из
предыдущих параграфов, а также из недавнего рассмотрения разрывов, как
важно отличать случаи, когда движение происходит со скоростью меньшей,
чем скорость звука, от случаев сверхзвуковых скоростей. Введём теперь
важное понятие «криги-
КРИТИЧЕСКАЯ скорость, трубки тока
ческой скорости». Напишем для этого уравнение Бернулли (6.9) в виде:
?т + т^т —(8Л)
(здесь и в дальнейшем мы считаем, на основании сказанного в начале
предыдущего пункта, что г0 == const.) и предположим, что в некоторой
точке М скорость движения v оказалась в точности равной существующей в
этой точке скорости а распространения звука:
v = a. (8.2)
Соотношения (8.1), (8.2) представляют собой систему алгебраических
уравнений, из которой мы можем определить непосредственно в
числах величину скорости v в точке М. Это будет
V*=V (8-3)
Скорость эта и носит название «критической скорости». Соответственно
этому имеем и критическую скорость звука а
= = /0. (8.4)
Мы видим, что величина vt не зависит от рода движения и положения точки.
Для всех движений, обладающих одним и тем же г0, будем иметь всегда одно
и то же vt. Нетрудно убедиться, вследствие (8.1), что если в какой-то
точке оказалось v > а*, то будет также и v > а (скорость газа будет
больше местной скорости звука), и если v < at, то будет также и v < а.
Обратно — наличие неравенств v^a повлечёт за собой, соответственно,
наличие неравенств
Привлекая ещё скорость звука а0 в тех точках, где скорость газа г» — 0,
д2
-~Y = to> (8-5)
мы можем дать для аа выражение
a* = V-Д^ГТ«о~0,9119а0 (8.6)
при /= 1,405. Таким образом, критическая скорость всегда меньше той
скорости звука, которая возникает в покоящемся газе, обладающем данным
значением г0.
Уравнение Бернулли, если выразить в нём г0 через посредство а,, примет
вид:
+ (8-7)
') Это можно непосредственно установить из (8.9) (см. ниже).
44
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Постоянная, стоящая справа, сохраняет своё значение вдоль всей трубки. Но
такая функция будет иметь минимум, и притом единственный, при v = at. В
самом деле:
u(d&f/dv)v=a^ = 0, а, как легко видеть, (d2 Af/dv\^af > 0. Мы получаем
следующий замечательный результат: при дозвуковых скоростях, так же как и
в несжимаемой жидкости, трубки тока будут тем уже, чем больше скорости;
наоборот, при сверхзвуковых скоростях трубки тока будут тем шире, чем
больше скорости.
§ 9. Плоские вихревые движения со сверхзвуковыми скоростями.
Характеристики. Угол Маха. Продолжим изучение дифференциальных уравнений
движения, предполагая, что /0 = const. Мы имеем два конечных соотношения:
уравнение Бернулли
vx + vy , (4*) Р * | .
2 I ^-"1 —го
и условие адиабатичности:
р = »*(ф)рх,
и два соотношения дифференциальных: выражение для вихря dvv dvx db
~dJc df= (9Л)
s уравнения неразрывно
Можно теперь написать уравнение неразрывности, i
