Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
(х, у) через М, будет нормальна к характеристике второго семейства,
проходящей через соответствующую точку М' в плоскости (vx, vy) (ось Ох
параллельна оси vx)-, также, по (10.1), касательная к характеристике
второго семейства в (х, у) будет параллельна нормали к характеристике
первого семейства в (vx, vy).
Характеристики в плоскости (х, у) будут иметь в различных задачах газовой
динамики различную форму. Напротив, характеристики в плоскости (vx, vy)
будут для всех безвихревых задач иметь всегда один и тот же вид, так что
мы можем их рассчитать раз и навсегда. Действительно, из уравнения
(10.1), например, вследствие (9.14), следует, что
т. е., так как а2 выражается только через v2x-\-v2 и правая часть, таким
образом, зависит только от vx, vy, но не зависит явно от х, у, то мы
имеем для определения характеристики первого семейства в плоскости (vx,
vy) обыкновенное дифференциальное уравнение.
Для интеграции этого уравнения удобно обратиться в плоскости (vx, vy) к
полярным координатам V, §, уже введенным нами по формулам (9.20). Именно,
(9.24) даст нам для безвихревого случая (& = const.) просто
+-^-dv = 0, (Ю.З)
и так как ctg а зависит исключительно от г/(вернее, от отношения v/aj, то
переменные разделены, и достаточно выполнить квадратуру. Вследствие
(9.22), имеем:
52
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ.
Квадратура легко выполняется, и мы получим
const. (10.5)
Уравнения (10.5) представляют два (соответственно двум знакам правой
части) семейства линий, зависящих каждое от одного параметра. Все эти
линии располагаются в кольце
Нетрудно убедиться, что это—эпициклоиды, которые можно получить, следя за
движением точек окружности радиуса
катящейся по кругу v = а*. Мы приходим к важному результату:
характеристики в плоскости (vx, vy) представляются в случае безвихревой
задачи всегда в виде эпициклоид.
Равенство (10.5) может быть ещё записано, если ввести вместо v угол а по
(10.4), так:
Для удобства дальнейших вычислений мы будем писать для характеристики
первого семейства
<*’<уЛ т=т«.-
Р=±{/" TZTf arc tg -?TyCtg«) + a} +const. (10.6)
а для второго-
(10.7)
§ 101 ПЛОСКИЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПРИ v > 53
где X и и. — постоянные, а
-«**/’<10'8'
Через каждую точку Ж7 плоскости (г^, vy) (в кольце ^ а*) ПР0Х0ДИТ
одна эпициклоида первого семейства и одна
второго семейства. При этом, по (10.7), разность соответствующих значений
постоянных р. — X будет в точности равна полярному углу В точки (vx, v ):
— Х + р. =
т. е. будет сохраняться на всём радиусе-векторе, проходящем через М'; а
сумма значений X и р будет
т. е. сохраняется на всём круге с центром в начале (проходящем через М').
На прилагаемой таблице 1 мы даём значения числа S(v/aJ = = 1000— 180/я •
С, начиная от 1000 вниз через 1, и рядом соответствующие значения а в
градусах и значения величин pjp0, vja, vja* и рг»/й„р,.
В плоскости (х, у) направление обеих характеристик, проходящих через
точку М, можно узнать по формулам (9.13), (9.14), если известны vx и vy в
этой точке М. Если, однако, наши эпициклоиды уже заготовлены, то, зная
vx, v можно найти направления yj, y'v не производя вычислений по формулам
(9.13) и (9.14). В самом деле, достаточно вспомнить, что элементы
эпициклоид, проходящих через М' (с данными vx и vy), нормальны к
элементам характеристик противоположных номеров, проходящих через М;
таким образом, чтобы построить, например, направление характеристики
первого семейства в точке М, надо провести через М линию,
перпендикулярную
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Таблица I
90,00 ( 67,28 ( 61,96 (
1 0,284 ! 0,270 0,257 1 0,245 ' 0,233 1 0,221 ' 0,210
: 0,320 0,306 ! 0,294 ' 0,281 0,269 0,257 0,246 0,234 0,222 0,211 0,200
к касательной к проходящей через М' эпициклоиде второго семейства (оси х
и vx всегда параллельны).
На рис. 7 изображён кусок плоскости (vx, vy) (сектор в 70° круга радиуса
с центром в начале координат), на кото-
ром нанесены попадающие туда части эпициклоид первого и второго семейств
и некоторые круги 5 = const. Если в (10.7) ввести вместо С число 5, мы
получим
5 + р° = 1000— ^Х = 2(6+100),
5 — р° = 1000 — = 2(т]— 100)
ф° — в градусах), где ? и tj — новые постоянные, заменяющие 1 и ц, На
рис. 7 эпициклоиде первого семейства, проходящей через точку v — a% (5=
1000), [3° = 0 (на рисунке надписаны значения tj — 5,
§ 10] ПЛОСКИЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПРИ v > 55
а не (3), соответствует \ = 400, эпициклоиде второго семейства,
проходящей через ту же точку, отвечает tj= 600. Эпициклоиды проведены для
? — 400; 401; 402;...; для 5 = 399; 398;..., для
Рис. 7.
т; = 600; 601; . ..; у) = 599; 598; . . . Круги S = const, проведены для
5~ 1000, 990, 980 ... Заметим, что в каждой точке
S = e-H, р° = е —7)4-200,
56 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Покажем теперь, как при помощи характеристик можно численным образом
определить поле скоростей и давление во всех точках плоскости (я, у) в
отдельных задачах газовой динамики.
