Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
<6'4)-(SV5KS(Ii+3-™"
(й2 - ^) 3 - W1РГ - w 3+(a2 - vl) w = 0’ (9-2)
эезвихревого движения. В самом деле, заменив в (9.2) а2 : (8.7), приведём
(9.2) к виду:
[(-/. + 1) (а2 — г»2) — (х — 1) v2y] — 2^ (~^+ sjf) +
+ [('? + 1 ){а\ - ®2) - (у - 1) х»2] ^ = 0, (9.3)
I (в (9.2) а
гЬгр 1 =
ния (9.3), (9.5). В них входят две i
46
из двух соотношений [см. (6.5)] >):
„л=к^Т^(02)-—Л; (9.6)
ггую вдоль линии L, через ^ + -g- ^
е (9.2), (9.5) соотношения, выполняющиеся вдол
+ (9.7)
dvjdy! dvyjdx, "dv^dy и°з °HLe/системы четырёх уравнений
(9.5), (9.7) и (9.8)]. Выражая dvjdx и dvy/dx из (9.7) и
(9.8) и
[/ („-- »; ) + «Л1 ДЬ _ + «» - »;| =
|/(»!-»Й+»Л (99)
^Т^ТГ.со„™ше„„, есть ЛРТГС», „о ,ы.
~Q
= 0*). (9.10)
Обращаясь сперва к (9.9), получим, раскрывая определитель, следующее
соотношение, связывающее у', vx и vy:
у'2 (vl - a2) - 2vxvyy' + 4 - а* = 0. (9.11)
Заметим попутно, что это соотношение было уже получено нами в другом виде
в общей теории слабых разрывов. В самом деле, мы видели, что проекция Vn
скорости газа на нормаль п к характеристической поверхности должна
равняться местной скорости звука
1^п| =«•
В нашем стучае
Vn-vxcos(n, *)-f t,ycos(Я. у)-- +
и потому условие Vn = а2 примет вид
{vy-vxy'? = a2{\ + у'2),
что, как нетрудно убедиться, совпадает с (9.11). Таким образом, тангенс
угла наклона у' характеристики может принимать два значения, определяемые
как корни квадратного уравнения (9.11):
vxv ± а ]Л? + т/®-а2 / = — vi Уд2 -------------• (9-12)
Соответственно этому через каждую точку плоскости (х, у) можно провести
два элемента характеристик, а вся плоскость (х, у) (в предположении всюду
сверхзвуковой скорости) может быть покрыта двумя семействами
характеристик. Если движение уже известно, т. е. vx и vy известны как
функции координат, уравнения (9.12) представят два дифференциальных
уравнения, каждое из которых, будучи проинтегрировано, даст одну систему
характеристик в плоскости (х, у). В дальнейшем мы всегда будем называть
ту характеристику, которая отвечает знаку плюс перед корнем в (9.12),
характеристикой первого семейства, а ту, что даёт у'со знаком минус перед
корнем,—второго
*) Равенство нулю ^определителя с заменённым первым столбцом полу-
48 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
семейства. Будем писать соответственно vt (дс) или у2 (х), так что =
v2y ~f., (9.13)
У2 =--------^ Д, *--------• (9.14)
Обратимся, однако, к уравнению (9.10), которое должно выполняться вдоль
характеристик наравне с уравнением (9.9). Раскрывая его и группируя
члены, получим сперва
[У' (й2 - ^) + 2vxvy\ ЧТ-{а2~ V2) ё =
= [/(«2-^)+WlS- (9.15)
или вследствие (9.11)
ё+W -а2) ё=+у' (“2 ~ *2)](9-16)
откуда, деля на — и заменяя члены в квадратной скобке правой части по
формуле (9.12):
у = + (9Л7)
где справа знак минус отвечает первому семейству, и тогда вместо у'
должно стоять у'у а знак плюс отвечает значению у' = у'г
Мы можем представить произведение корней уравнения (9.11)
и потому вдоль характеристик первого семейства будет
dvv-\--^-dvr = — 2——y'.dx, (9.18)
У У2 tf-a2
а вдоль второго
dv + -г dvx = 2 а~1 ~2— у? dx. (9.19)
У\ vy — а
Соотношениям (9.12) и (9.17) можно придать более обозримый вид, если
ввести вместо проекций vx и v скорости величину ско-
ПЛОСКИЕ ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
а р. образуемый вектором скорости с
) Ох (рис. 6): (9.20)
Заметим, прежде всего, что скорость V в точке М(х, у) будет всегда
направлена по биссектрисе между касательными к обеим характеристикам,
проходящим через М. В этом можно убедиться из рассмотрения (9.12), проще
же это можно получить из равенства \Vn\=«-
В самом деле, тот факт, что проекция Vn н теристикам скорости V точки М
равна одному и тому же числу, указывает, что скорость составляет один и
тот же угол с обеими касательными, проведёнными в М к нашим
характеристикам. Угол этот называется углом Маха. Обозначим его буквой а;
тогда по определению а будет (рис. 6):
sina = -J. (9.21)
Следует подчеркнуть, что величина угла Маха а зависит исключительно от
отношения vja, но не зависит от
(9.22)
Теперь мы можем представить (9.12) в виде:
y' = tg(p±a). (9.23)
Прежде чем преобразовать (9.18) и (9.19), найдём, как изменяется & при
перемещении вдоль характеристики. Вдоль последней будет & = д{ф[Х, у
(*)]},
_ db (dty , д^_ ЛЛЛдг. > Ли
ду У }’
db / db
[){Vy-Vxy) — .
можно представить 2, стоящее в (9,18) и (9.19),
§ 10] ПЛОСКИЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПРИ v > 51
при этом, вообще говоря, вдоль некоторой линии. Эту линию назовём
характеристикой первого семейства в плоскости (vx, vy). На этой линии
должно быть выполнено всюду соотношение (10.1). Аналогичное построение
повторим для характеристик второго семейства. Через точку М плоскости (х,
у) проведём элементы характеристик первого и второго семейства. Пусть
точке М отвечает точка М’ плоскости (vx, vy) (координаты точки М' суть
компоненты скорости в точке М). Равенство (10.2) показывает тогда, что
касательная к характеристике первого семейства, проходящей в плоскости
