Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
54 нами были даны значения pxvx/pв функциях от числа давления, или, если
угодно, от vx/a*.
§ 13. Движение газа около вогнутой поверхности. Образование сильного
разрыва. Движение внутри угла, меньшего чем я. Обтекание профиля с острой
передней частью. Пусть газ движется вдоль контура, который при лг < 0
совпадает с осью Ох, а при х > 0
i vja*. vja*, wy/a* и заменяя в (7.14) а* через vf г
^Г+
то
82 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1
ограниченной характеристикой МА, контуром MN„ и характеристикой второго
семейства (криволинейной) AN„, проходящей через Л. В этой области задача
может быть решена точно, ибо вдоль МА скорости всюду одинаковы, так что
здесь будет выполняться соотношение
С + P = const.
(см. § 11, а также § 15). Далее начинаем приближённое графическое
решение.
Нанесём на характеристике ANn густой ряд точек Nx, At2, ...; им отвечают
известные нам точки At', N'r . . . эпициклоиды второго семейства,
проходящей через А'. Проведём через точку Nx элемент характеристики
первого семейства NXB до пересечения в точке В с продолжением прямой
разрыва О А. Скорость В' в точке В найдётся на пересечении с нашей
гипоциссоидой эпициклоиды первого семейства, проходящей через Л/'. Зная
В' и At', построим с помощью их элементы характеристик N2PX первого
семейства и ВРХ второго семейства. Было бы ошибочно думать, что скорость
в точке Рх может быть найдена простым пересечением эпициклоиды второго
семейства, проходящей через Ви эпициклоиды первого семейства, проведённой
через At'. Такое построение справедливо лишь для безвихревого движения, а
движение, происходящее справа от поверхности разрыва и характеристики
ANn, обязательно будет вихревым.
В самом деле, наклон линии разрыва в точке В найдётся как направление
перпендикуляра, опущенного из точки. О в плоскости (?vx, vy) на
продолжение прямой Е'В', и так как В' не совпадает с А', то наклон в
точке В будет отличен от наклона в О или в А, строго говоря, уже начиная
от точки А, наша линия разрыва становится кривой, и только неточность
графического метода заставила нас заменить прямой линией ОАВ кривую линию
разрыва, в то время как на самом деле лишь касательная в точке А к линии
разрыва совпадает с прямой АВ. В соответствии с формулами (7.2) и (7.10),
&+ будет вдоль линии разрыва теперь меняться от одной линии тока к
другой, начиная от точки А, а тогда в формулах (9.18), (9.19) нельзя
положить Q = 0. Чтобы найти скорость в Pv обратимся к уравнениям (9.18) и
(9.19). Перемещению от В до Рх вдоль характеристики второго семейства,
выходящей из В, отвечают изменения скоростей, связанные соотношением
(9.19). Заменяя, как всегда, дифференциалы конечными разностями, пишем:
i\Vy — (vy)р — (vy)B', &vx — {vx)Pi — (Ух)в> ~ xpl — XB-
ПОВЕРХНОСТИ 83
Вследствие (9.19), точка Р\ плоскости (vx, vy) с координатами (vx)Pi>
(vy)Pt найдётся поэтому где-то на элементе прямой
+W(v' ~= »i)B К, —*»)• <13-4>
При 2 = 0 мы должны были бы искать vx и г>у на элементе прямой,
проходящей через В' и параллельной элементу эпициклоиды второго
семейства; если 2 Ф 0, мы должны по (13.4) искать (vx)pt и (г>у)р, на
прямой, параллельной той же эпициклоиде второго семейства, не проходящей
через точку В'. Чтобы построить эту прямую, мы должны знать правую часть
(13.4). Туда входят известные в точке В величины v, а, у', vy и хр^ — хв.
Таким образом, нам надо только
о = “21 Р ^ .
Заменим снова d& на Д& и dty на Дф, причём для определения 2 в точке В
напишем:
Д& = — &д; Дф = — фд.
но линии тока не претерпевают разрыва, а только и переходе через
поверхность разрыва, поэтому можно положить Фл = Р1®1Ул: Фв = Р1«1Ув-
-1 + -Т-
V±-rx-----------------, (13.5)
ria нормали к линии разрыва в точках А
Точка Pj (хруР[) лежит на пересечении характеристики ВРХ и характеристики
первого семейства NiPl. Перемещаясь по BPV мы
84
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
[ГЛ.
будем двигаться в плоскости (vx,vy) по прямой (13.4); перемещаясь по N2Pv
мы будем, очевидно, двигаться в плоскости (vx,v ) по
Но (2)^=0, ибо N2 лежит ещё в безвихревой области. Таким образом,
перемещение по (13.6) есть перемещение по элементу эпициклоиды первого
семейства, проходящей через N', и мы найдём точку Р'х на пересечении этой
последней эпициклоиды с элементом прямой
(13.4). Зная P'v проведём обе характеристики РХР2 и РХС, где Р2 — точка,
лежащая на характеристике первого семейства, выходящей из А/3, а С —
точка линии разрыва. Скорость в С найдётся как точка С' пересечения
прямой (9.18) [типа (13.6)] с гипоциссоидой, скорость же в Р2 — как точка
Р' пересечения прямой (9.19) [типа
(13.4)] с эпициклоидой первого семейства, идущей из 7V'. Нам придётся в
обоих случаях знать 2 в точке Рх; чтобы определить (dbjdty)p j заметим,
что изменение происшедшее благодаря перемещению
от В к Pv будет
что же касается Д9, то оно может быть получено интерполированием, ибо,
например, изменение 9а — известно. Нужно помнить только, что если
