Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Именно — задача интегрирования (17.5) при краевых условиях 1),
2), 3) ') замечательным образом совпадает с задачей определения логарифма
и угла наклона скорости в несжимаемой жидкости, обтекающей контур С при
циркуляции Г и имеющей на бесконечности скорость Исо. Христианович
называет это движение фиктивным пото-
]) Конечно, должно быть Vm < 0,7579, чтобы было < 1; см. уравнения (17.8)
-(17.10).
§ \1\ ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 135
ком. Таким образом, как только мы сможем найти обтекание нашего контура С
несжимаемой жидкостью — сразу же мы найдём V (а значит, по (17.9) и и) и
р в функциях от р. и v. Если мы теперь сумеем установить, какая точка
плоскости (p., v) отвечает той или иной точке плоскости (х, у), то мы
узнаем распределение скоростей (v, в точках (х, у), а затем по уравнению
Бернулли давление, и тем будет решена задача обтекания с некоторой
скоростью на оо какого-то контура плоскости (х, у).
Соответствие между точками (р, v) и (х, у) устанавливается с помощью
уравнений (17.6), (17.7) и условий 4), 5), 6). Именно, будет: ^
Млм _ I (17.11)
у== J (^^+7"^"^)+^
(лгд, Уд — координаты той точки плоскости (х, у), в которую мы переводим
точку А плоскости (р, v)).
В частности, вдоль контура с будет (ф = 0):
X = f ^-dy + xj y=f 1|?^+уд. (17.12)
Чтобы нагляднее представить степень отличия контуров С и с, построим
функцию тока Ф и потенциал скоростей Ф' для введённого выше фиктивного
потока несжимаемой жидкости, обтекающей контур С в плоскости (р, v) с
циркуляцией Г и со скоростью Vco на бесконечности. В частности, будет
д\х _ cos р . дч ^ sin ft .
(5Ф V ’ дФ V ’
так что (Ф=0) по (17.12)
x="flT'%d* + x* Ti (17лз)
Отсюда видим^ что для малых скоростей, когда V/v близко к единице^(и ср
близко к Ф), контур С будет близок к контуру с. Так как И/т><1, то контур
с будет искажён по сравнению с С,
136
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1
Для точного определения величин х и у по формулам (17.11) или
(17.13) надо выразить ср и ф через р. и v из уравнений (17.6) при
условиях 4), 5), 6). Чтобы это сделать, Христианович разбивает каждое из
ср и ф на два слагаемых:
ср = сро + ?*; Ф == Фо -Ь Ф*;
ср0 и ф0 удовлетворяют уравнениям
^ = = (17.14)
где Коо = К (vx), и краевым условиям:
fa = 0 -а С; (j^l = = К.; I
) (17Д5)
При этом ср* и ф* должны удовлетворять уравнениям: при условиях
ф* = 0 на С и ср* и ф* ограничены на со.
Интеграция (17.14) при условиях (17.15) совершается элементарно. Так как
/^—постоянная величина, уравнение (17.14) означает, ЧТО ср0—)— / /ТСеофо
есть аналитическая функция от pt —j— гv, и краевые условия (17.15)
позволяют эту функцию определить. ср0 и У~К«> Фо совпадают с потенциалом
скоростей и функцией тока в соответствующей задаче для несжимаемой
жидкости. Однако при нахождении ср0 и //Ссофо не следует торопиться с
определением «циркуляции» из условия регулярности в остриё А контура С
(как это надлежало бы сделать в задаче обтекания).. Не надо забывать, что
гидромеханический смысл имеют не ср0 и ф0, а суммы ср0 —j— ср’" и ф0 —(—
ф*. поэтому надлежит оставить циркуляцию, входящую при определении ср0 и
ф0, назовём её Г*, неопределённой с тем, чтобы после нахождения <р* й ф*
найти Г* из условия 6) для ср и ф (т. е. требуя, чтобы обратились в нуль
интегралы типа (17.11) по замкнутому контуру, обходящему вокруг С).
Для определения ср* и ф* Христианович пишет
Ф* = ?1 + ф2 + Ф. Ф* = ф1Н-+2+^. (17.16)
ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА
137
где срл(и=1, 2) удовлетворяют уравнениям:
*b = yicZ*b+(VK-V?<3^. ]
op. ov ^ (17.17)
а Ф и ЧГ:
• I "7Л8)
причем ф1 = ф2 = Чг = 0 на С и все шесть функций ограничены на
бесконечности.
Уравнения (17.17) сводятся к уравнениям Пуассона. Пут&м остроумного и
тщательного анализа, на котором мы здесь не останавливаемся,
Христианович не только даёт в эксплицитном виде (квадратуры)
решения системы (17.17), но и находит точные выражения
главных членов функций ср„ и (п — 0, 1, 2) на бесконечности. Затем он
показывает, что Ф и ЧР на бесконечности регулярны. Но тогда известны
главные члены функций ср и ф, и мы можем подобрать Г* так, чтобы
выполнилось для ср и ф условие 6).
Далее Христианович получает:
Т-1 I’
а Г—полное значение «циркуляции» в задаче о движении сжимаемой жидкости.
Мы уже упомянули о том, что при малых скоростях искажение с по сравнению
с С незначительно. При малых скоростях для определения контура с можно
ограничиться «первым приближением», полагая 'р~<р0> Остановимся на
первом приближении
подробнее.
Обозначим
= (57.19)
‘) Разница по сравнению с Ф + ЛР та, что здесь циркуляция будет Г, а не
Г. В случае отсутствия циркуляции Ф* + ЛГ* = Ф -f 47.
138 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
В работе Христиановича и Юрьева ') дан анализ первого приближения как для
циркуляционного, так и для бесциркуляционного обтекания. В первом
приближении есть возможность выполнить квадратуры типа (17.13) в общем
виде и оценить сразу же то искажение контура, которое мы получаем в
