Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
(где К, В, Кп — постоянные), так что
= Л + В$ + ^ вп (^-)" sin (2яр + а„), (16.19)
где А, Вп — некие постоянные. Наша задача о течении газа разрешится тогда
формулой:
Ц = А 4- В$ 4- ^ Вп -2*- sin (2лр 4- а„), (16.20)
где уп(х) есть гипергеометрический ряд (16.17), упл = уп (xj, X —
постоянные, а А, В, Вп имеют как раз те значения, которые входят в
(16.19). В самом деле, при t = Xj правые части (16.19) и (16.20)
совпадают, — значит, если было ? — const, при i — то будет ф.== const,
при х —х,. Далее, если при каком-нибудь значении (3 = (30 функция,
определяемая (16.19), не зависит от х, то это будет лишь, если sin
(2л^0ал) = 0 при всяком л, участвующем в сумме. Но тогда и правая часть
(16.20) будет постоянна при том же р. Таким образом, ф из (16.20) будет
удовлетворять граничным условиям задачи. Формально (16.20) удовлетворяет
уравнению (16.13). Таким образом, если ряд (16.20) будет сходиться при
всяком х < xlt а при t = Tj будет стремиться к тому же пределу, что и ряд
(16.19), причём не только ряд (16.20), но и ряды, составленные формально
из (16.20) путём его почленного дифференцирования по х и [3, будут
сходиться абсолютно и равномерно, то мы вправе считать, что частные
производные д^/дх и d'bjdfi находятся путём дифференцирования ряда
(16.20) и что ф будет действительно искомой функцией тока; тогда,
используя (16.12) и (16.6), мы сможем по известному ф
120 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
найти <р, х и г. Задача будет решена. В частности, по (16.12) имеем = Х2т
(1 _ tP=T Q d$ -X (1 - =
= S Т (1 - х)~ < sin (2лр + «„) 4! ~
~ » (1 - ^ *я cos (2»р + <*„) dx } -
Заменяя члены, стоящие при dx под знаком Е, при помощи (16.15) и выполняя
интегрирование, получим без труда:
Xcp = c+B(i — х)~^ — f * '«Гг —
_ (1 _ т)-тЬ- ^ вп X хп (т) cos (2лр 4 «„). (16.21)
Доказательства сходимости даны у Чаплыгина.
В качестве первого примера на применение метода Чаплыгина рассмотрим удар
струи газа в пластинку, перпендикулярную начальному направлению струи;
предположим, что струя симметрично делится пластинкой на две части,
причём дана длина пластинки 21 и толщина струи на бесконечности — 2Ь, а
также задана скорость на границе струи.
В случае соответствующего движения несжимаемой жидкости потенциал Ф и
функция тока ЧГ связаны с \nvjv и р формулой
® = Ф4/Ф = —J^lnTl ,sin2m -.-I, (16.22)
[
где Ql2 и —Q/2 суть значения Ч? на верхней и нижней внешних границах
струи соответственно, а т — угол, под которым каждая из двух частей струи
наклонена к оси X на бесконечности [см. часть 1, глава шестая, формула
(17.10)].
§ 16] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ 121
Чтобы решить задачу о струе газа, разложим (16.22) в ряд и отделим его
действительную и мнимую части. Имеем сначала:
4 * = 2 !„ sin (р - Л» 4) - In [si„4 - Л n i) - sin* „] =
= 2 In sin ^ — i In — in j^cos 2m — cos 2 (j3 — / In + In 2 =
In— + »P —im ln-^- + ip + (m
= 2 In sin —------------In---------------------sin------------------ In--
-sin- .
Вводя вместо тригонометрических функций показательные, получим:
= — 2 ^ -— (1 — cos 2пт) (cos 2я(3 — i sin 2и(3).
Наконец, для ? получаем, вставляя 2 In vjv = In хх/х:
i ф=2 i (тгУsin 2п? (1 ~005 2пм)•
Таким образом, для газовой струи можно написать
it ^ Ё 4 Ш” 5Ш41 -cos 2пт)sin 2wp- (16-23)
Вследствие (16.21) мы можем затем написать (В = 0):
^ = _(1 _ т)-тгг ? 1 (1 _ cos 2лж) cos 2яр (16 24)
(мы взяли С = 0, что означает, что при т — р — 0 мы берём не только ф =
0, но и ср = 0). Остаётся только определить значение чисел Q И т\
воспользуемся для этого известными нам величинами / и Ъ. Для определения
Q представим поток жидкости через прямую,
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
ую к оси Ох и находящуюся на бесконечр и: во-первых,
^ f vpdyj = f vlPl dy = 2bvipv
Pi=Po(1-3ht)x 1;
во-вторых:
(/vpdy\ p°^ay)x- m=p°Q; таким образом,
кроме того, на пластинке
Р — const. И df — - ?ф + ^ с
Таким образом, вдоль пластинки
но, вследствие (16.6),
dy _ sin р _
VYY
) вдоль верхней части пластинки будет (р = тс/2):
§ 16] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ 123
, следовательно,
а.уГЩ
Воспользовавшись второй из формул (16.12) для выражения dyfdx и вспоминая
уравнение (16.15), которому удовлетворяет zn — xnyn, получим для I,
вследствие (16.23):
'=^7ЩХ
X Ё ^7 4?^ / WТ, ['1^*• (16'2б)
В этом уравнении I нам задано, a Q определяется по (16.25). Таким
образом, мы можем из (16.26) найти т. Остановимся ещё на выражении
сопротивления R пластинки. Очевидно, что
* = 2/ (Р — Pi) dy = 2 f ^=L^— (р "dx — 2pll,
Р = РоО — Х)х'1. Pi = РоС1 — 4х"1*
? р0= а^Ро- Таким образом, будем иметь для R:
'•S
(-1)" 1-
444 *
х/ —у-— ~jr] ‘h ~ -p'L nf'X;
'?<Wv??b-^-?]*=
= уТ(1_,Г^гг; + / "
= у7(1—) *~'<+-(1~,/v’"‘ г.+
+ т/г«~—,Y ^(1 —
'>(')= ,„?!_! <> {V'«:+j^=»,}=
(16.28)
f (l-x)^d/H==(l-xy=^I№ + T^T f (1_х)^Г/я(х)Л =
= (1 - ^^ + -4^1- X--1 V'^^- (16.29)
/я(0) = 0 (^ = x'4g,
§ 161 ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ 125
