Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 21

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 183 >> Следующая

Первый и третий члены правой части сокращаются (см. выражение для Р\)‘
Что же касается суммы, то она вычисляется в виде
S (- l)n+1 1 1 0 ~cos rn). (16.31)
Заменяя j/"а* V— vx и вставляя Q из (16.25), получаем:
R — QPo С1 — cos т) v1 = 2bp011 4ГГТ I (1 ~cosm'>vv
(16.32)
Запишем ещё, используя (16.28) и (16.31), I из (16.30) в виде
'=4l|r4i{|(1~?0sra)+
+S (- 1)n+1 (1 ~cos 2nm)}(1 ~ (16-33)
j" Легко видеть, чтох„= 1 y~ = J^n (~y + 3^) ~Т[Г' ] Деля (16.31) на
(16.33), получим окончательно
Я =2^®*-------------------------------------------- , (16.34)
“ + nr4rS‘S(_1)”1 S=T О-"*2””)
где pj — по-прежнему плотность позади пластинки.
Напомним, что m приходится определять из (16.33) после того, как Q
известно. В случае, когда Ь — со, т. е. на пластинку набегает поток
бесконечной ширины, мы получим, очевидно,
пг — 0.
В качестве второго примера рассмотрим истечение газа из бесконечно
широкого сосуда. Пусть давление во внешнем пространстве есть рх, давление
внутри сосуда, на бесконечности, там, где скорость г; = 0, есть р0. Пусть
> рх. Обозначим ширину отверстия
126
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
ВВ' (рис. 42) через 2Ь, а угол, который составляют стенки с осью Ох, —
через qiz/2 (при q — 1 получим истечение из сосуда, у которого стенки
служат одна продолжением другой). Для соответствующей задачи в
несжимаемой жидкости мы будем иметь (см. ч. 1, стр. 321 и далее; мы
применяем рассмотренную там нумерацию ли-
на нижней границе ВС струи (vjv= 1, (3 > 0). Если же р = — щ(2, то ЧГ =
Q/2 (стенка А'В'), и если р < 0, v = v, (верхняя часть В'С' струи), то
тоже будет W — Q/2.
Мы можем представить w в виде:
Ряд этот — абсолютно сходящийся, и, применяя формулу (16.20), получим для
функции тока ф, определяющей истечение сжимаемой жидкости из того же
сосуда и при той же скорости на струе:
При этом, когда р = 0, мы имеем справа действительную величину, т. е. ЧГ
= 0 (ось Ох — середина струи). Если р = ir<7/2 (прямая АВ), получим ЧГ =
— Q/2; то же значение Чг будет
(16.35)
Рис. 42,
]}
. (16.36)
Разлагая в ряд In, получим:
что, если vjvl = (т/т1)'/2, то
§ 16] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ 127
Потенциал скоростей по (16.21) запишется в виде
JL т — С ?
(1-0
±+±fsi=?
4(1-0 J^LC
(16.38)
Остаётся только определить Q. Чтобы сделать это. найдем, как меняется у
вдоль струи. Определим сперва вообще у как функцию от т до р. Для этого
напишем выражение для ду/дф. Имеем:
д<? D дх р0 D ’ D дх D ’
D = l_v2={l__x)lk
Таким образом,
„|=s,„ + +cos + <,-+.
Воспользовавшись (16.37) и (16.38), мы получим:
д ду —
Q У х—1 * фЗ —
-Icos|i(l-,)- +
Интегрируя по р, получим:
= (++_ [*, /si„Msl„N? +
+ ./ соз^со,Мр]-ПтР(1-^'^т.
128 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1ГЛ
где С(т) — произвольная функция от т. Так как при ^ = 0 i должны получить
у —0, то следует считать С СО = 0.
Вдоль линии тока ?z = zl (граница струи) имеем1):
-/с„зР?с„зМ,Л <l^±sl„
[ можем написать:
причём знак плюс надо брать, когда у > 0, и :
V <и
Р = Т -SlnP±9l
Таким образом, вдоль границы струи
-J (1 - х.)^-, = -1 / sin р | si„ М т 1,
причём —тс/2 будет для нижней границы ф > 0) и тс/2 — для верхней ф < 0).
’) Подробности о сходимости рядов см. в работе С. А. Чаплыгина.
ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ 129
В точке В будет в точке В':
Р=-|
Таким образом, мы получим связь между Q и b в виде:
Ц/ / sinpsin^rfp =
Мы вернёмся к несжимаемой жидкости, полагая ^ ajz — — Vv 1— ^->1. Так
как
9 Я sin (2m + 1) ~ + cos —-
2J-
/ sin (2m + 1)±- /
^ +,J Sin l3 Г.- ? ^ + S' J Sin P Ctg q ^
О ЬШ7 о ^
= ±9T+tJ sinpctgl#,
ричём верхний знак надо брать при р>0 и нижний при [3 < 0. еперь получим
b = ‘K-irVf slnpctg-^dp,
го совпадает с формулой (17.6) ч. 1, гл. VI; надо лишь, в согла-ии с
принятым там обозначением, заменить vx на с, а та)/2 на а.
9 Теоретическая гидромеханика, ч. II
130
Теоретические основы газовой динамики
Определим ещё «сжатие струи» в сжимаемой жидкости.
Так же как и в жидкости несжимаемой, максимальное сжатие будет иметь
место в бесконечно удалённой части струи (иначе скорость получила бы
максимальное значение где-нибудь внутри струи). Если ширина бесконечно
удалённой части струи будет Ь', то
Нужно помнить, что движения, о которых мы говорили в этом параграфе,
совершаются с дозвуковыми скоростями, в частности, в нашей задаче о
струе, максимальные скорости не должны превосходить скорость звука, т. е.
должно быть
в одном из следующих параграфов мы рассмотрим обратный случай:
§ 17. Дозвуковые скорости. Метод Христиановича. В настоящее время
существует значительное число работ, посвящённых приближённому решению
задачи о движении газа с дозвуковыми скоростями. Работы эти можно разбить
на две группы: в первой группе работ решение дается последовательными
приближениями, во второй авторы ограничиваются той или иной линеаризацией
задачи.
Мы изложим основные идеи метода последовательных приближений,
предложенные Христиановичем, отсылая за деталями непосредственно к его
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed