Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Вспомним теперь, что характеристики в плоскости скоростей связаны
соотношением
р q: С (v) = const.,
=/йт>гс'г/’^1/Г 1 ^z{ _а -arcig-l[
9 *+lV 7 7.+ Г
(18.8)
Обозначая
С (г;) — р = 2Х, C(xi) + P=2p. (18.9)
и переходя к независимым переменным к и р, мы должны из (18.6) и (18.7)
получить:
1________________дф______________d<f 1
д1~ ( }
При этом, вследствие (18.9),
С(ц) = А + р, (18.11)
т. е. 1 jVx(v) есть функция отХ-j-p.
Как выглядит эта функция? Не представляет труда изобразить Yx в функции
от С: и ту, и другую величину можно считать параметрически представленной
через v [формулы (18.5), (18.8) соответственно]. Так, например, легко
убедиться, что в области С?«0 (кяй1, причём х»>-1) Yx имеет вид
Далее, кривая имеет точку перегиба при С = С0^0,175.
При дальнейшем росте С знак кривизны у ]//_ не меняется, и она
асимптотически уходит на бесконечность при
§ 18]
ПРИБЛИЖЁННЫЙ МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА
149
Кривая Ух в функции от С представлена на рис. 47. Христианович замечает,
что для значений С, не слишком близких к нулю, можно с большой точностью
аппроксимировать нашу кривую как куски парабол; так в интервале 0,015 <С<
0,57, (18.12)
И*
в котором v меняется в пределах 1,06 <v < 1,74, можно написать
Ух «18,5 (С+0.185)2. (18.13)
В интервале 0,57 < С < 1,02 (1,74 <v< 2,07)
(18.14)
можно написать
Ух «6,5 (С— 1,3
(18.15)
и т. п. Обычно в безвихревых задачах мы заранее знаем, в каких пределах
меняется поле скоростей v (см. § 11) и поэтому мы можем выбрать
представление для Ух в виде наибо-; подходящей параболы.
Но,
(M-Of
Ух=Л(С + с)“. (18.16)
где А, с и k — постоянные (причём k — целое число), то система (18.10)
(18.18)
Если k положительно, удобно использовать (18.17), если k < 0, — возьмём
(18.18). В обоих случаях мы получим уравнение Дарбу, причём тот тип,
который в общем виде решается до конца. Так, если А = + 1, как это будет
по Христиановичу в интервале (18.12),
150
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
мы просто будем иметь в качестве общего решения:
(18.19)
где и — две совершенно произвольные функции, каждая от одного аргумента;
вид этих функций определится аналогично тому, как это делается в
классической задаче о струне — из краевых условий. После того как ф
известно, <р найдётся из (18.10) путём простых квадратур. Это будет
Ср_Л(Х + [А + с)[ЧТ2([г)__ЧГ1(Х)] + 2Л[]' адл— f
Аналогичным образом в интервале (18.14) мы имеем (18.15), т. е. k — — 1,
и по (18.18) можем написать
где <&i и Ф2 — произвольные функции.
Прежде чем начать ставить краевые условия, построим ещё, как определяется
связь между х, у и <р, ф.
Как прежде (см. § 16), мы имеем равенства:
Слева в этих равенствах стоят полные дифференциалы, и это в конечном
итоге обеспечивалось тем, что <р и ф, v, р были связаны уравнениями
(16.9), (16.10). Теперь, когда ср и ф мы представляем приближённо, как
функции X и р. (т. е. как функции (3 и v), мы должны позаботиться о том,
чтобы (18.21) оставались полными дифференциалами. Величины 1 [v и рJpv
зависят только от v, т. е. от С Поэтому запишем (18.21) в виде:
(18.20)
dx = -L cos В <Ар sin р ??ф, |
v ру I
dy — i sin р ^ср -f- -??- cos р йф. I
V pt> )
(18.21)
(18.22)
и посмотрим, как надо представить р и q, чтобы (18.22) были полными
дифференциалами. Мы можем прежде всего записать,
приближенный метод христиановича
151
используя (18.10):-
dje =-I,/* COS {J + ? Sin р] If-tfX +
(18.23)
dy = — [p ]/xsin? — ?cos +
+ [p V^sinp + 9cosp]|^afa
Напишем условие того, что dx есть полный дифференциал. Имеем:
или если выполнить дифференцирование и вспомнить, что ( = p.-|-X, j) — [а
— X, и собрать члены с одинаковыми производными от ф:
мы получим окончательно два соотношения
?g~>V7=°. I
\ (18.24)
Vx-?+? = o. [
Те же соотношения получаются из условий, что dy есть полный дифференциал
*)•
До сих пор наши выкладки были совершенно строгими. Подставим теперь
вместо Ух наши приближённые выражения. В случае, когда
д
Наконец, замечая, что вследствие (18.10) должно быть
/х = Л(С+с)2>
(18.25)
') Легко проверить, что если мы вставим q = р0/ру, p = \/v, Vу. = ~У(?-
1)/(1 — v2jh2)h\ то (18.24) будут тождественно удовлетворяться.
— А(^-\-с)2р, А(^-\-с)2—~—. — д.
4f+^==0-
Р = Ц -\-с ^Cl s‘n(!’ + с)+ С2 C0S (^+ С)Ь
sin (С + с) + с2 cos (С + с) —
— (? + с) cos(C+ с) — с2 sin (С —{— с)]}.
^=(TW'
для q уравнение
-г#+тт^4!-+9=о,
перь будет
q = -j-^r fci sin ? + c)4~ c2 cos (’+ C)1
{cx sin (C-f- c)+c2cos(C + c) —
— (C + c)[CiCos(C + c)-c2sin(C+c)]}.
cx = 0,553, c2 = 0,082.
приближенный метод христиановича
153
браженз на рис. 13). Пусть уравнение этой последней линии в плоскости (л,
|х) нам известно:
Вдоль этой линии заданы <р и ф. Пусть будет здесь, в частности:
В общее решение для <]>
(18-2§)
входят две функции и *Р2. Определим их. Умножим обе части последнего
равенства на X —(— pi. —с и продифференцируем по X и р.;
^(Х) = |-[(Х + р. + С)ф(У ^)] = ф(Х. F) + (X + ,x + c)-^, wz(V-) = -^№ +
V- + cW^ Р)] = Ф(Ь. rt + (X + t*+c)
