Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
мы берём Г*, а не Г). Таким образом, вдоль контура с будет на основании
(17.11):
'*/?/ Y (2~Y
Остановимся ещё на следующих весьма простых соображениях. Предположим,
что мы изучаем в плоскости (р., м) обтекание круга (хотя бы
бесциркуляционное); в плоскости (х, у) мы имеем сплющенный круг. Пусть
скорость фиктивного потока 1/03=0,35; ей отвечает скорость сжимаемой
жидкости ?усо=0,36 (близкая к Voo). Но максимальная скорость т>тзх,
получающаяся в сжимаемой жи кости, будет близка к скорости звука.
Действительно, ?итах получится там же, где V достигнет максимума. Но Vmax
— 21/со — 0,70, а этой скорости отвечает по таблице г; —0,825. Скорость
звука будет достигнута, когда будет 77=1, т. е. при V — 0,7577; значит, в
нашем примере сплющенного круга при ^= 0,7577/2 = 0,3789, т. е.
t/oo~0,354, мы обязательно получим звуковые скорости на контуре.
Очевидно, что это явление ещё раньше возникнет, если контур с в плоскости
(х, у) будет точным кругом. Таким образом, можно с уверенностью сказать,
что при v.x > 0,36 при обтекании круга возникнут сверхзвуковые зоны.
144
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Можно ожидать, что при обтекании вытянутого контура, например профиля
Жуковского или профиля крыла современного самолёта, искажение будет
получаться гораздо менее значительным, чем в случае круга. Но если грубо
считать, что профили с и С тождественны, то метод Христиановича даёт
замечательное средство быстро рассчитывать распределение скоростей и
давлений вдоль профиля крыла с учётом сжимаемости при любых дозвуковых
скоростях, если известно обтекание крыла при малых скоростях.
Действительно, пусть мы получили, хотя бы путём продувки крыла в
аэродинамической трубе при малых скоростях vx на бесконечности,
распределение давления вдоль крыла С. Пусть vl настолько мало, что
эффектом сжимаемости можно пренебречь: критерием этого может служить,
например, то, что величина vjat будет почти совпадать с соответствующей
величиной V и с таблицей.
По уравнению Бернулли для несжимаемой жидкости
Мы считаем, что q в каждой точке профиля известно, значит, мы можем найти
V/vl для каждой точки профиля. Теперь спросим себя, каково будет
распределение скоростей и давлений вокруг крыла С, если скорость на
бесконечности будет v2, причём v2'^>vl'? Рас‘ считаем сперва v«la. = v2;
обратимся затем к таблице или к формуле (17.9) и найдём соответствующую
скорость фиктивного потока несжимаемой жидкости; пусть это будет V2, для
этого фиктивного потока несжимаемой жидкости конечно снова будет
где <?неСж принимает прежние значения в соответствующих точках контура.
Так как V2 известно, эта формула позволит найти V для каждой данной точки
нашего контура С. Тогда по таблице мы можем найти безразмерную скорость v
для каждой точки контура с, близкого к С (а грубо говоря, тождественного
с С) и обтекаемого со скоростью v2 на бесконечности.
Распределение давления найдётся затем по формуле
Р—Ро
146
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
общий случай обтекания при наличии циркуляции и что уже в первом
приближении он получил большую точность ценой введения, вместо а,
величины S.
§ 18. Приближённый метод Христиановича для решения плоских безвихревых
задач. Сверхзвуковые скорости. В предыдущем параграфе мы рассказали о
приближённых методах решения дозвуковых задач. Эти методы опирались на
использование ср и ф в качестве искомых функций, а плоскости скоростей —
в качестве плоскости независимого переменного. В сверхзвуковом случае
такого рода искомые функции и независимые переменные также могут помочь
решению многих задач.
Христиановичу *) удалось, используя ср и ф в качестве искомых функций от
р и v, дать новый приближённый способ решения всех основных плоских
безвихревых задач в сверхзвуковом случае.
Идея решения заключается в следующем.
До сих пор, рассматривая движения со сверхзвуковой скоростью, мы строили
характеристики в плоскости (х, у) или в плоскости (vx, vy). Вместе с
Христиановичем будем теперь строить характе-
§ 18] ПРИБЛИЖЁННЫЙ МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 147
ристики в плоскости (ср, ф) (речь идёт о безвихревом движении). Чтобы
связать ср и ф при перемещении вдоль характеристики, удобнее всего
обратиться к соотношениям (16.6) § 16. Вдоль характеристик мы имеем (см.
9.23):
dy = tg($±a)dx, 08.1)
где верхний знак отвечает характеристикам первого семейства, нижний—
второго. Значит, по (16.6) вдоль характеристик будет:
[cos р tg ф ± а)—sin pj dtp [sin j) tg ф ±a) -j-cos p] di/ — 0. (18.2)
или, после сокращения и приведения членов:
й?ср= ± -^ctgarff (18.3)
лишь от v = v/alt [см., напри-
у:
нм--а
+ 1 2 1ZZ.
2 v2 2
Обозначим вместе с Христиановичем
У>) =----------- Ч+х *)? 08.5)
Легко видеть, что %(v) есть монотонно растущая функция от v, не
отрицательная при 1, обращающаяся в нуль при v=l и в бесконечность при
Итак, вдоль характеристик первого
семейства будет
d$ = -
'V'/.O)
> второго:
<*}» = -
V-7(YC
148
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
