Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
линии. Картина течения (в области, имеющей физический смысл) дана на рис.
50. На рис. 51 изображена крайняя линия тока и характе-
§ 20] КЛАССИФИКАЦИЯ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ПО ХРИСТИАНОВИЧУ 165
однако, выяснить заранее, получатся ли безразрывные, имеющие физический
смысл, решения при обтекании данного контура, при данной скорости на
бесконечности и при условии возникновения сверхзвуковой зоны. Этот вопрос
тем более важен, что очень редко удаётся получить точное решение задачи
обтекания. Почти всегда приходится довольствоваться решением
приближённым, а благодаря неточности того или иного приближённого метода
мы можем пропустить появление опасных областей. Так, например, при
неудачном подборе входной части сопла Лаваля может оказаться, что
непрерывное движение не осуществимо, и в сверхзвуковой зоне возникает
поверхность сильного разрыва (см. § 21). Некоторый свет на условие
отсутствия или возникновения разрывов проливают работы Христиановича, а
также Никольского и Таганова. Мы изложим в общих чертах содержание этих
исследований.
§ 20. Классификация сверхзвуковых течений по Христиано-вичу. Рассмотрим
некоторую область течения газа, ограниченную четырьмя характеристиками.
Пусть криволинейный четырёхугольник М1М2М3М4 (составленный из дуг
эпициклоид) изображает рассматриваемую область течения в плоскости (vx,
vy) (рис. 53). Пусть
дуги М'3М'2, М'4М[ принадлежат к эпициклоидам 1-го семейства, а дуги
M'4M'S, М'ХМ'2 — к эпициклоидам 2-го семейства.
Как в плоскости (ср, ф) расположатся точки Мр М2, М3, М4, являющиеся
изображениями точек м[, М'2, М'3, М4 соответственно?
Минимальное значение f может оказаться в одной из четырёх точек Afj, М2,
М3, М4. Мы не рассматриваем здесь вырождающихся случаев, когда в
плоскости (vx. vy) мы будем иметь, вместо
166
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
четырёхугольника, дугу характеристик 1-го или 2-го семейства. Эти случаи
полностью были разобраны раньше (см. § 12).
Рассмотрим все четыре возможных случая.
I. Минимальное значение ср оказалось в точке М3. Двигаясь от М3 по
характеристике 1-го семейства М3М2, мы будем попадать в область с большим
ср; следовательно, по (18.6) ф в точке М2 должно быть больше, чем в М3.
Аналогично этому, чтобы попасть в М4, надо двигаться по характеристике 2-
го семейства М3М4, и значение ф в точке М4 должно быть по (18.7) меньше,
чем в М3. Таким образом, в этом случае взаимное расположение точек М2,
М3, М4 будет таким, как показано на рис. 54. Далее, двигаясь от М3 к М4
по характеристике 2-го семейства, мы будем получать по (18.6) для
тангенса наклона йфДАр касательных к характеристикам 1-го семейства всё
меньшие и меньшие (по модулю) значения, ибо при передвижении по
эпициклоиде от М3 к м\ v растёт и значение (Ух) убывает. Аналогично,
двигаясь по характеристике М3М2 от М3 к М2, мы по (18.7) будем встречать
всё
мешаться в направлении течения (т. е. по линиям ф —const, от меньших ср к
большим) так же, как ведут себя прямолинейные характеристики 1-го
семейства в задаче о движении газа вне выпуклой поверхности (§ 12, рис.
23). Возникновение предельной линии (пересечение характеристик) здесь
невозможно.
II. Минимальное значение ср пришлось на точку М4. Передвижение от точки
Мх к точке М2 позволит теперь заключить, благодаря предположенной
минимальности ср в точке Мх и на основании (18.7), что ф в точке М2
должно быть меньше, чем в М4; аналогично — ф
меньшие и меньшие значения
семейства.
Таким образом, можно установить характер выпуклости характеристик обоих
семейств. Схематическое изображение нашей области в плоскости (ср, ф)
дано на рис. 54. Христианович !) называет движения такого типа «течениями
расширения».
Рис. 54.
9 Криволинейные характеристики как 1-го, так и 2-го семейства ведут себя
здесь, если пере-
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
будем встречать всё менее и менее наклонённые характеристики 1-го
семейства. Наконец, как и в предыдущих случаях, при перемещении по любой
характеристике мы будем иметь монотонное изменение тангенса наклона этой
же характеристики (неизменность знака кривизны). Такое решение стремится
к разрушению в направлении убывающих ф, но в направлении течения оно
может не претерпевать разрушения — разрыв может и не возникнуть, ввиду
того, что характеристики разных семейств ведут себя здесь по-разному.
Этот тип
IV. ср достигает минимума в точке М4. Теперь рост ф получим, двигаясь от
М4 к М4, и убывание — двигаясь от М4 к М3. При передвижении от М4 к Л13
будем попадать в область с меньшими v и, значит, по (18.6) характеристики
1-го семейства, пересекающие М4М3, будут становиться всё круче по мере
перемещения от М4 к М3. Напротив, двигаясь от М4 к Mv будем встречать всё
менее и менее наклонённые характеристики 1-го семейства. Движение
стремится к разрушению в направлении растущих ф (рис. 57). Как и в
предыдущем случае, вопрос о возникновении линии разрывов останется
открытым. Течения такого типа Христианович также называет смешанными,
