Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
вихревым.
Опыт показывает, что скачки, как правило, «садятся» на крыло в
сверхзвуковой зоне (крыло движется с дозвуковой скоростью). Такие же
скачки образуются в сопле Лаваля, даже при нужном перепаде давления,
сразу после того, как совершился переход через звуковую скорость, если
только профиль сопла не удовлетворяет специальным условиям (см. следующий
параграф).
Условие наличия предельных линий в том или ином решении уравнений газовой
динамики, т. е. условие, при котором появляются бесконечные ускорения
(производные от скоростей), нетрудно написать. В самом деле, это условие
очевидно равносильно обращению в нуль якобиана D(x, y)/D(v, (3); но
последний можно записать так:
D (*. У) _ D (*' у) D (у- Ф)
D (о, р) D (<р, ф) D (v, р) ’
что вследствие (16.8), (16.9) и (16.10) даст:
Мы видим, что если М2 < 1, наш определитель не может обратиться в 0;
значит, предельные линии невозможны в дозвуковом потоке. Предельные линии
образуются там, где
(т)’(М’-<19л>
Любопытно, что первые примеры точных решений, в которых осуществлялся
переход через скорость звука, обладали все предельными линиями1).
Татаренчик2) первый показал, как можно найти ряд точных частных решений
уравнений газовой динамики, в которых осуществляется переход через
скорость звука, причём движения имеют физический смысл (предельная линия
не успевает образоваться). Чтобы получить примеры таких решений, вернёмся
к уравнениям Чаплыгина и обратим внимание на то, что каждый член ряда
(стр. 118) ф = А + яр + 2 Вага (т) sin (2п$ + ап)
будет формально удовлетворять уравнениям газовой динамики. Татаренчик
рассматривает решения вида:
ф = г„(х)(Лсо8 2яр + Д81п2др), (19.2)
и уп удовлетворяет уравнению гипергеометрического ряда (16.16): 41-4^ +
[2,,+ l+(^-2»-l)4(& + i^!rtL)V=0-
Здесь п — любое число. Вместе с Татаренчиком положим:
2я-+-1 =0, тогда для уп получим: ^ ^ ^
Это уравнение интегрируется и даёт:
Уп — с\ (1 — "О*-1 ~Ь С2> где сх и с2 — произвольные постоянные. Итак, мы
можем принять в качестве решения:
ф = ф=- U (1 - т)^ + J [A cos р - В sin р]. (19.3)
При этом для ср получается [см., например, (16.21)]:
ср =~у=- [с, (1 + т) + с2] (A sin р + В cos Р).
(19.4)
Рассмотрим частные случаи. Положим сперва
160 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Интегрируя по 3 в пределах от тг/2 до р, получим:
х = х0 (V) 4- (cos 2р -f-1); у = у0 (v) +? sin 2р,
Iх - (*»+?#)’]+tv ~,,о)!=(ф)2 ?
Остаётся найти лишь x0(v) и y0(v). Это суть значения, которые принимают х
и у в функциях от v на линии р = тс/2. Но вдоль линии Р = тс/2 = const,
будет
dx~-^rdv, dy = ^L-dv,
dv dv
причём (dxjdv).1=^,2 = Ро/рт»3, а (ду(ду)?=п/2 — 0. Таким образом, линия
р = л/2 в плоскости (х, у) переходит в прямую, параллельную оси Ох, и
можно считать
То == 0,
что же касается х0, то оно найдётся квадратурой*)
Xq (®) ” f ~з const. = ^ ^(l —~ip~f dw-f-const.
Таким образом, линиями v~ const, будет семейство кругов с центрами вдоль
оси Ох и различных радиусов (см. рис. 48, на котором
]3==55°P=50oj8=45°J3::40oj3 -35°Р=30° J3=25°
P=S5° j3 =70°
J3=75°
]3=до° j3=ss°
J3=S0°
Рис. 48.
изображена «верхняя» часть течения). Так как на линии у~ 0 будет Р = л/2
— все линии тока под прямым углом пересекают ось Ох. Рассмотрим линию
тока ф = с. По (19.5) там, где эта линия тока пересекает ось Ох, будет v—
1/с. Перемещаясь вдоль линии тока,
') Квадратура выполнится, если положить 1,40.
ПЕРЕХОД ЧЕРЕЗ СКОРОСТЬ ЗВУКА. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ
161
мы будем встречать различные значения v. Попадём ли mi дельную линию?
Вдоль предельной линии (19.1) имеем
р-)2 (М2 — 1) - (^)2 ^ Sln2 р = 0.
ф = с, то будет по (19.5) s : встречи нашей линии тока
Если двигаться вдоль линии тс дельной линией будет по (8.9):
(т^г - 1) " - Л!) - = 0
или, если собрать члены и произвести упрощения,
1^4. X+1 J- —о
v 2 с2 ' 2 с2
У этого уравнения будут действительные корни только при
' X + 1 •
Но,
ния нашей линии ток, для которых скорость v на оси Ох буд< бесконечные
ускорения не возникают, и соответствующие течения имеют физический смысл.
На рис. 48 изображены эти линии тока, вплоть до крайней возможной
Любая из линий то
границу обтекаемс рис. 49 изображен;
Круги постоянной ются по мере притока, на которых чные ускорения. :а,
изображённых быть принята за
ыура. На
линий тока и нарисованы характеристики первого и второго семейства,
которые возникают в нашем движении в сверхзвуковой зоне.
Второй частный случай решения (19.3), (19.4) получим, полагая
162 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Вдоль ЛИНИИ V = const.
dx = - (! + ^2)sin 2NP;
dy = COS 2p - COS2 p) d$.
Так что можно написать:
x = xQ{v) + ~(\ +_J_^)(C0S2P+1),
*w+~ TTi) -TTT (?-f)''
где x0(v), y0(v) — значения x и у в тех точках, где р = я/2. Как и в
предыдущем примере, определим х0 и у0, перемещаясь по линии р = тс/2.
Получим без труда:
dxQ~^—~—dv, dy0= О,
А-0 —const. L—(-'пт», у0 — 0.
Вновь можно найти связь между р и v на предельной линии, а также
выяснить, на каких линиях ф = const, мы не встретим предельной
