Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
сплошной среды.
§ 20. Задача об обтекании полубесконечной пластинки несжимаемой
жидкостью. Пусть плоская полубесконечная пластинка движется параллельно
самой себе с постоянной скоростью v вдоль отрицательной оси X. Нам удобно
будет обратить движение и рассматривать обтекание пластинки,
расположенной вдоль оси ОХ (х>0).
Рис. 163.
равномерным потоком, имеющим постоянную скорость U (рис. 163)!).
Рассмотрим случай несжимаемой жидкости.
Вводим функцию тока ф из равенств
<56 i <5ф
ду ' У дх
vx = 647Г ' Vv = -XT (20.1)
и приходим вновь к уравнению
<56 <5Дф <5ф <5Дф
ду дх дх ду
:уДДф. (20.2)
Это уравнение будем решать при следующих краевых условиях.
Вдоль пластинки мы должны записать условие прилипания (vx = vy — 0), и
это значит, что
•^=?—- = 0 при у = 0, лг^О. (20.3)
') Исследование задачи излагается по работе Кочина Н. Е., выполненной u
1044 г. и опубликованной впервые в Собр. соч. Кочина Н. Е., т. 11; 1948.
486
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
На бесконечности имеем условие
дф
ду
= и.
(20.4)
Для удобства решения задачи перейдём от координат х, у к параболическим
координатам xv с помощью соотношения
(20.5)
: т2,
где z — х iy, х — хх-\- iyx, так что х-
? уЬ У ?
2х1у1. Коор-
динатные линии хх — const. = С представляют собой параболы
х — С2 — у2,
причём линия хг — 0 вырождается в дважды проходимый отрезок вещественной
оси х от — оо до 0.
Линии yj = const. — С являются также параболами
1
4 С2
С2
причём линия у! — 0 вырождается в дважды проходимый отрезок вещественной
оси от д: = 0 до х = -\-сю.
Чтобы перейти в уравнении (20.2) к новым переменным, мы можем
воспользоваться преобразованием, приведённым в предыдущем параграфе;
достаточно положить в (18.3):
?(*. У) При этом будет по (18.5)
Q
??xv х(х’У) = У\-
dx 2 d 1Г~г 2 1 1
dz = dz А\г\ 4 Й + У?)
и уравнение (20.2) по (18.7) может быть записано в виде <Эф_ _д_
Аф_________________________JL Аф А|ф
дуг дхг х{ + У\ дхг дуг х\ + yf
л А + у1
(20.6)
причём
д2ф дх?
с?2ф
ду*
Установим теперь краевые условия для ф. Пластинка соответствует линии yij
= 0. Таким образом, по (20.3) имеем
при Ух = 0: ф = 0, ^- = 0. (20.7)
При удалении от пластинки скорость должна стремиться к U.
ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНКИ
487
Удаление от пластинки отвечает стремлению у, к оо. Так как
v — ^ дх' I ^Ф ду‘ — 1 . Л. v
ду дхх ду дух ду 2 (л? + У,) \ 1 дхх 1 ду, )
дф дф дх, | дф ду, 1
у дх дх, дх ду, дх 2 (х, -f- у,)
то мы имеем
1 дф
(х v ii\.
( 1 dx, 1 dy, )
Разделим это равенство на у, и устремим у, к оо, принимая во внимание,
что при у,->со vx ->(/, г>у->0. Получим:
lim ТГ (т)— 2и• (20-8)
У,->00 WI /
Будем искать решение уравнения (20.6) в виде ряда
ф—1 •*,/(, (У,)Ч /1 (Ух) Ч--уЛСУ^Ч—г/з(Уг)Н“ (20.9)
хх х, х.
Ряд этот можно рассматривать лишь для больших значений хх, сходимость его
сомнительна, но можно считать его асимптотическим рядом.
После подстановки (20.9) в (20.6) получим, собирая члены при
одинаковых степенях х,, рекуррентную систему обыкновенных диф-
ференциальных уравнений для определения функций /0, /,, /2, .. .:
уС + /о/о' + /;/;' = 0; (20.10)
•'/!v+/о/г+з/;/;'+/о/; - /о л=* (y?/jv+4у,/"о+
+ y\f0fo + Зу?/;/0' + 2у,(20.11)
v/iV + /0/2’’ + 5/о/г ~ 3/о'/2 =
= V (yf/|V + 4у,/;" - 12/; - 4y*/{V—8у*/'")~
— (Уг/о/о" — 5У1/о/о + 4Уг /о /о) +
+У? (/о /г + 3/; /;+3/; /; - /"' /,)+2у, (/0/;' - /; /0) -
- 2 (/0/;+5/;/, + - з/;/;"> (20.12)
и вообще
v/!,v + /0/'" + (2я + 1) /о/'^ + /о f'n = Fn{yv /о* /1./л-l)-
(20.13)
причем правая часть содержит независимую переменную у, и функции /0, fx
/л_, с их производными до 4-го порядка.
488
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. п
Ход решения будет теперь следующим. Из нелинейного уравнения (20.10)
надо определить /0. После того, как /0 известно, мы
можем перейти к определению /х из линейного (по отношению к fx)
уравнения с коэффициентами и правой частью, зависящими от /0. Далее,
определим /2 из линейного (по отношению к /2) уравнения с коэффициентами,
зависящими от /0 и с правой частью, содержащей /0, fx и т. д.
Граничные условия для функций /0, fv ... будут следующие
fn (°) ~ f'n = 0> « = °. 1. 2, 3, ... (20.14)
Пт A = 2Lf, 1 im ~ = 0, п= 1, 2, 3, ... (20.15)
У1~>со У\ у, ->оо У\
Применяя правило Лоштля, запишем условия (20.15) в виде
f'0(od) = 2U, f'a(oo) = 0. (20.16)
Обратимся к решению уравнения (20.10).
Заметим, прежде всего, что оно может быть записано в виде:
^К' + /0/0")=0 (20-17)
и, следовательно, допускает одно интегрирование; после проведения этого
интегрирования получим
vf'o+fcfo = ° (20.18)
(постоянная интегрирования выбрана равной нулю, что обеспечивает
затухание /" и /'" по оо).
Уравнение (20.18) известно в гидродинамической литературе под именем
уравнения Блазиуса. Оно впервые было исследовано в 1908 г. при решении
задачи о пограничном слое (см. ниже § 32), с теми же краевыми условиями,
что и в нашей задаче:).
Для исследования этого уравнения перейдём к безразмерной функции С и
