Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
следовало ожидать, ибо, в силу малости угла а, мы приблизились к случаю
течения между двумя параллельными стенками, причём, вследствие малости R,
влиянием сил инерции можно пренебречь.
Рассмотрим теперь случай очень больших чисел Рейнольдса R. Как мы знаем
уже, в этом случае симметричное течение рассматриваемого типа невозможно,
если течение расходящееся. Остаётся исследовать случай стока. В основу
рассуждений мы положим уравнения (17.27), (17.28) и (17.29). Угол а мы
считаем заданной величиной, не превосходящей 2тс, величину же R будем
считать очень большой.
Введём теперь в интегралы (17.27) и (17.28) вместо U новую переменную ф,
положив
U = e2-\-(el — е2) cos2 ф = ег — (ех — е2) sin2 ф, (17,34) и введём ещё
параметр /г < 1, положив
#г —iLTiL. (17.35)
«i — e3
ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРЕ
471
Тогда будем иметь:
— U = (ег — е2) sin2 ф, U — е2 — (er — е2) cos2 ф,
U — е3 — (е1 — е3)(1 — k2 sin2 ф), dll — —2 (el—е2) sin ф cos ф
</ф,
при этом значению U = е2 соответствует значение ф = тг/2, а значению U =
0 значение ф = ф0, где ф0 есть решение уравнения
sin фо =
УгГ=Т,' = У^ (о<?,<?§)• (17.36)
Простое вычисление показывает теперь, что равенство (17.27)
заменится через
al/~~ — -7=4=- f -7==М======-, (17.37)
V 6 Vei—e3 ?' /1 — k2 sin2 ф v '
Ф<
равенство же (17.28) примет вид:
71/2
|/"5 —____________2 f [g! — (е1 — е2) Sin2 ф] di{
_
' 6 У в\—es •> У1 — Л2 sin2 ф
фо
?те/2
2е3
./ l/~ 1 — k2 sin
J УI — fe2 sin2 ф
Фо
71/2
— 2 Yei — e3 J Y \—k2 sin2 ф й?ф. (17.38)
Фо
Полученные равенства показывают, что k должно быть очень близко к 1, так
как в противном случае эллиптические интегралы имеют конечное значение, и
правые части формул (17.37) и (17.38) были бы конечными, в то время как
левые части этих формул, по предположению, очень велики. Итак, k мало
отличается от 1; по формуле (17.35) это означает, что е3 мало отличается
от е2.
Но тогда формула (17.29)
е1 + е2 + ез — — р"
в которой можно пренебречь правой частью, показывает, что приближённо
2е2.
472
движение вязкой жидкости
[ГЛ. II
В соответствии с этим упрощаются и формулы (17.37) и (17.38); первая из
них принимает вид:
те/2
я1/П?==__2_ f d'\,
6 _ У —Зе2 J У \ — k* sin2 ф ’
во второй же формуле можно отбросить в правой части второй интеграл, как
имеющий конечное значение; в результате получим:
те/2
Кб К 3 2 ,/ у \ _ k2 sin2 ф
4'о
Сравнение двух полученных соотношений показывает, что должно быть
1С/2____________________________________________
е2 = _1 и f — г,................= 1F(17.39)
« J у \ — k2 sin2 ф к 8
Фо
Для определения угла мы имеем формулы (17.36), которые дают .in ф0=|/" 1,
созфо--/”4. Фо=54°44'. (17.40)
нам:
sin
Остаётся отыскать ft; для этого заметим, что
те/2 «/2
f ** f d Ф f __________
J У1 — ft2 sin2 ii J 1^1 — fe2 sin2 d. J У\ —
db
У1 — ft2 sin2 ф J У\ — ft2 sin2 ф J У\ — ft2 sin2 ф
yo 0 0
и что при ft, близких к единице, мы имеем приближённые равенства:
J У 1 - ft2 sin2'i ~
/ « / ST=,п с,г (1 - 4) I//
с,Д5_|)=,„1±^ = ,„(Уз+У2).
/I'
о
<ро
COS ф — “,''ls \4 — 2/ |фг_0
о г т о г
= 1п
Поэтому равенство (17.39) даёт нам, что
In 4
К!-*2(К 3 У~2)
‘) См. напр., У и т т е к е р—В а т с о н, Курс соврем, анализа, ГТТИ,
1934 стр. 371—372.
ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРЕ
473
откуда
1 _ а>2= 16 (уз— У2)2<Г^2.
Но по формуле (17.35) мы имеем:
«I — е3
н приближённо ех — е3~ — Зе2, поэтому
_i/L
е2 — е3 — — 48 (]/3 — У 2)2 е2е у 2
Ra
Итак, при больших числах Рейнольдса R симметричное течение
рассматриваемого типа для случая сходящегося течения в диффузоре
существует и определяется следующими приближёнными значениями параметров:
<?3 = — I [ 1 + 48 (У’3 — /2)2 е-v'R^5], (17.41) 2
е, = —.
1 a
Остаётся найти распределение скоростей. Из равенства (17.26) после
простых вычислений получим:
? =.....1 . Г
V 6 V7—гг ?/
л/2
dф
V
Рассуждая, как выше, получим:
-;2
Г —---------— ла In -тг 4 — — In ctg (-7- — ~
?' У I — A2sin2i /1— ?2 s \ 4 2 /
= Т+ln W*-+ - In ctg- (I - I).
™ 3
1ак как ещё е,—е%яг: — , то легко находим, что
V T + '^^+f^-lnctgd-l). (17.42)
Но по основной формуле (17.34):
U = е2 + (ех — е2) cos2 ф =-L_j_ J. Соз2ф. (17.43)
474
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Так как
COStjl:
(YZ + V2) eV?ll2a W2-0) 3 — Y2) e~TR/2u (а/2-6)
и так как
V (г, 0) = —
QU
то мы находим окончательное выражение для распределения скорости: г» (г,
6) =
12 1 (17.44)
=0/1-
[(У1 + Y~2) ev (а/2~е> + (V~3 - У~2) e-1" R/2a (a/2
-.»pf
Легко теперь видеть, что почти во всём секторе 0 < б < а/2, за
исключением непосредственной близости стенки, значение скорости v(r, б)
очень мало отличается от значения Q/ra. (см. рис. 161, вычерченный для a
= 60°, R = 100). Только при значениях 6, близких к а/2, значение
показательной функции еу R/2’ <я/2—е) будет невелико,
и второй член в фигурных скобках предыдущей формулы сильно повлияет на
величину v(r, б).
Итак, для случая сходящегося течения в диффузоре течение при больших
числах Рейнольдса очень мало отличается от потенциального течения
