Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 116

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 183 >> Следующая

граничным плоскостям, так что
vz = 0.
Заметим, наконец, что ввиду малости h изменение скоростей vv и Vy по
направлению оси Oz будет происходить гораздо быстрее изменения этих
величин в направлении осей Ох и Оу; это означает, что порядок производной
dvjdz велик по сравнению с порядками производных dvjdx и dvjdy; точно так
же порядок производной d2vjdz2 велик по сравнению с порядками производных
d2vxjdx2 и d2vxjdy2. При этих условиях уравнения (21.1) принимают вид:
др __ дЧ’х др _ d*vy др__ dvx dvy
дх ~ 1J' dz2 ’ ду~~^дгг’ дг ’ "дх'~^ ду ' ^ ^
Третье из полученных уравнений показывает, что р зависит только от х и у;
но тогда первое уравнение легко может быть проинтегрировано:
^vx~^^- + zAix- у);
функции А и В могут быть определены из граничных условий vx — 0 при z = 0
и z—h\ эти условия сразу дают нам
В (у, х) = О, А (х, у) — — ту |“г
и, следовательно,
(21-3)
Точно так же легко получим, что
(2L4)
Наконец, последнее уравнение системы (21.2) сразу даёт, после
подстановки значений (21.3) и (21.4), уравнение для
определения
функции р(х, у):
bp = B + W = °- <215)
Заметим, что из формул (21,3), (21.4) и (21.5) сразу следует,
что
d2vx d2vx d2v,, d2vv
? _i ? о - -4- 0
дх2 * ду2 ’ дх2 ду2
Но тогда ясно, что найденное нами решение строго удовлетворяет уравнениям
(21.1), ибо те члены, которыми мы пренебрегли в этих уравнениях,
тождественно обращаются в нуль.
ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛАСТИНКАМИ
501
Введём вместо vx и v средние скорости по высоте:
h
h
0 0
0
0
Так как
о
то для средних скоростей vx и v получаем формулы:
Введём теперь вместо р(х, у) функцию ср {х, у) --?=
(21.7)
тогда ясно видно, что <р(х, у) есть потенциал средних скоростей
причём функция ?, отличающаяся от гармонической функции р лишь постоянным
множителем, сама является гармонической функцией
Формулы (21.8) и (21.9) показывают, что в рассматриваемом случае среднее
движение жидкости происходит так же, как безвихревое движение идеальной
несжимаемой жидкости, для которого потенциалом скорости является функция
<?(х, у). Конечно, в этих двух движениях давление р определяется по
совершенно различным формулам.
Рассмотрим теперь следующий конкретный пример движения вязкой жидкости:
пусть между пластинками вставлен цилиндр с образующими, параллельными оси
Oz, сечение которого плоскостью Оху есть некоторая кривая С. Пусть далее
поток набегает на этот цилиндр со скоростью U на бесконечности,
направленной пс положительной оси Ох. Допустим, что обтеканию цилиндра С
потоком идеальной жидкости соответствует потенциал <р (jc, у), тогда
формула (21.7) определит соответствующее давление в вязкой жидкости, а
формулы (21.3) и (21.4) определят соответствующие скорости течения.
Однако полученное движение вязкой жидкости, помимо того, что для него
основные уравнения гидромеханики выполняются лишь приближённо, обладает
ещё тем недостатком, что для него условие при-
(21.8)
(21.9)
502
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
1ГЛ. II
липания к стенкам выполняется только на ограничивающих пластинах, но не
выполняется на боковой поверхности цилиндра С, потому что в
соответствующем движении идеальной жидкости обращается в нуль только
нормальная к поверхности С составляющая скорости, в то время как для
вязкой жидкости должна обращаться в нуль также и касательная
составляющая.
Можно поэтому ожидать, что среднее течение вязкой жидкости будет очень
мало отличаться от соответствующего движения идеальной жидкости только в
некотором отдалении от контура С.
Действительно, экспериментальные работы показали, что при обтекании очень
вязкой жидкостью цилиндрического препятствия, помещённого между двумя
очень близкими пластинками, получается картина линий тока, очень близко
напоминающая ту, которая даётся теорией безвихревого потока идеальной
жидкости.
§ 22. Медленное вращение сферы. Рассмотрим теперь движение вязкой
жидкости, вызываемое медленным вращением погруженной в жидкость сферы
радиуса а около своего диаметра, причём угловая скорость вращения равна
ui. Так как за характерную скорость в этом случае мы можем принять
линейную скорость и>а точек экватора сферы, то за число Рейнольдса можно
взять
r _ . Мы будем считать это число малым, т. е. будем
считать вращение сферы происходящим достаточно медленно.
Применим уравнения движения в сферических координатах (5.16); при этом
вследствие малости числа Рейнольдса мы можем отбросить в первых трёх из
этих уравнений левые части. Получившимся уравнениям мы можем
удовлетворить, приняв, что vr и тождественно равны нулю, р есть
постоянная величина, vx зависит только от г и 6, так что
vx = V (г, 6),
причём функция v должна удовлетворять уравнению
d2v , 1 d2v . 2 dv , ctg6 dv v „ /90 i\
дг2 г2 302 ' г дг ' г2 r^sin2 0 ’ \ '
На поверхности сферы частицы жидкости должны двигаться
с той же линейной скоростью ша sin 0, что и точки поверхности
сферы; поэтому мы получаем следующее^ пограничное условие:
v(a, 0) = (в a sin 0. (22.2)
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed