Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
ного значения X — — х=100; величина vJU с увеличением У стремится к 1,
величина vy/U —к нулю.
§ 2м] ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНКИ 497
I
t
32 Теоретическая гидромеханика, ч, II
498
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
1ГЛ. II
В. ПРИБЛИЖЁННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СЛУЧАЕ МАЛЫХ
ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА
§ 21. Плоское течение между двумя пластинками. В предыдущих параграфах
было дано в точном виде решение нескольких задач гидромеханики вязкой
жидкости. Как уже указывалось, интегрирование уравнений гидромеханики
вязкой жидкости в точном виде удаётся сравнительно редко; нужно, помимо
того, отметить, что многие точные решения уравнений гидромеханики вязкой
жидкости имеют мало гидродинамического интереса, так как они могут быть
осуществлены только при наличии граничных условий необычного в практике
вида. С другой стороны большинство важных с точки зрения возможности
эксперимента или наблюдения в природе движений вязкой жидкости не
поддаётся точному гидромеханическому анализу. В качестве примера можно
указать на задачу о движении сферы в вязкой жидкости с постоянной по
величине и направлению скоростью.
Совершенно естественно, что при невозможности точного решения какой-либо
проблемы мысли учёных обращаются на изыскание приближённых методов
решения этой проблемы. Такими приближёнными методами гидромеханики вязкой
жидкости мы теперь и займёмся.
Все приближённые методы гидромеханики характеризуются одним общим
признаком: в этих методах либо в основных уравнениях, либо в граничных
условиях часть членов или совсем отбрасывается, или учитывается не в
полной мере.
В тех случаях движений вязкой жидкости, которые будут нас преимущественно
интересовать, входят в рассмотрение три категории сил: силы инерции, силы
вязкости и силы давления. Последние силы являются внутренними силами, и
порядок их величины определяется порядком величины первых двух категорий
сил.
Что касается сравнительной величины сил инерции и сил вязкости, то
некоторую ориентацию в этом направлении даёт нам число Рейнольдса R —
IV/у, равное, как мы знаем, отношению произведения характерной скорости V
на характерную длину I к кинематическому коэффициенту вязкости у.
В соответствии с этим мы можем говорить о двух типах приближённых решений
уравнений механики вязкой жидкости.
К первому типу принадлежат те случаи движений, в которых силы инерции
малы по сравнению с силами вязкости и для которых, следовательно,
является малым число Рейнольдса, содержащее коэффициент кинематической
вязкости в знаменателе. Но число Рейнольдса будет малым в трёх случаях:
1) когда характерая длина / очень мала, либо 2) когда характерная
скорость V очень мала, либо, наконец, 3) когда коэффициент кинематической
вязкости v
ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛАСТИНКАМИ
499
очень велик. Таким образом, к рассматриваемому типу относятся, например,
случаи медленных движений очень малых частиц в сравнительно вязких
жидкостях. Приближённая трактовка движений первого типа состоит либо в
полном отбрасывании из уравнений гидромеханики членов, дающих силы
инерции, либо же в упрощении вида этих членов.
Другой, противоположный тип движений охватывает те случаи, когда силы
вязкости малы по сравнению с силами инерции и когда, следовательно, число
Рейнольдса является очень большим. Для этого нужно, чтобы либо
характерная длина, либо характерная скорость были очень большими, либо же
чтобы вязкость жидкости была очень малой. Таким образом, ко второму типу
движений относятся случаи быстрых движений тел большого размера в
маловязких жидкостях. Если мы полностью отбрасываем, при приближённом
рассмотрении движений второго типа, силы вязкости, то мы приходим,
очевидно, к уравнениям движения идеальной жидкости. Нам остаётся поэтому
рассмотреть только ту трактовку движений второго типа, когда мы лишь
отчасти учитываем силы вязкости, оставляя в уравнениях из членов, дающих
силы вязкости, лишь главнейшие.
Мы начнём теперь рассмотрение ряда конкретных случаев движений первого
типа, т. е. движений, обладающих малыми числами Рейнольдса.
Рассмотрим течение очень вязкой жидкости между двумя параллельными
пластинками, расстояние h между которыми мы будем считать очень малым.
Если мы будем считать значения средних скоростей жидкости тоже малыми, то
число Рейнольдса R = VA/v будет очень мало. Будем далее считать внешние
силы отсутствующими.
При этих условиях мы можем в основных уравнениях гидромеханики (5.1)
пренебречь находящимися в левых частях этих уравнений силами инерции;
тогда получим уравнения:
Рулем теперь считать, что оси Ох и Оу лежат в одной из граничных
плоскостей, а ось Oz направлена по перпендикуляру к этим плоскостям, так
что уравнения граничных плоскостей суть
дх ~ !Ч дх2 dy2 "п дг2 )
??_ — „ (d2r°x J_ д2уА
A v Г \ Л v-2 Т А<,2 I Л -г2 ) >
(21.1)
z — 0 и z~h.
32*
500
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Примем далее, что скорость каждой частицы направлена параллельно
