Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
но теперь легко видеть, что члены, содержащие р в этом уравнении,
сокращаются; в самом деле, по (19.5):
d 1 d а da
dx р dx р dx
Мы можем теперь выполнить и здесь квадратуры и тогда получим V7'=^+ey«2-
MK-fc, (19.7)
где с —третья постоянная интегрирования.
Итак, задача сводится к определению четырёх функций и, Т, р, р из двух
дифференциальных уравнений первого порядка (19.6), (19.7) и двух конечных
уравнений (19.4), (19.5). Умножая обе части (19.6) на и и, замечая, что
up — upRT~aRT, получим:
(\ + 2p)u~ = au2-\-RaT — Ьи. (19.8)
Как только мы найдём и и Т из двух дифференциальных уравнений (19.7) и
(19.8), мы определим давление из соотношения (19.6), а плотность из
(19.5).
И а и Г являются функциями одного только х, значит, мы можем считать, что
Т есть функция одного м, например. Беккеру удалось найти решение этих
уравнений, имеющее совершенно ясный физический смысл. Именно, Беккер ищет
Т в виде полинома второй степени от и:
Т — a. -f- {За -f- (19.9)
с коэффициентами, которые надлежит далее подобрать. Вставляя это Т в
(19.7), получим, после приведения подобных членов
k ф + 2~ = (ас„7 — а у) и2 + (acv$ -f аА) и -f acvа — с.
Уравнение же (19.8) даст:
(X -f- 2и.) и — (а Ra~j) K2-j-(/?a3 — b) и -f- Ran. (19.10)
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 483
Сравнение этих двух уравнений заставляет нас считать, что
р=°. <19">
Для определения двух коэффициентов а и у мы имеем три уравнения (19.11).
Решая эти уравнения, мы получим без труда
а= а (с„ + ЛЯ) ’ ~~W~A' (19.12)
но при этом обязательно должно выполняться следующее соотношение,
связывающее между собой оба коэффициента X и р., коэффициент
теплопроводности к и величину ср:
<19ЛЗ)
Соотношение это выполняется для воздуха с большой точностью;
2 Ср(х
так, если X — —g-р, то получается — = 0,75; для воздуха:
-4-^0,733.
я
Предположим поэтому вместе с Беккером, что (19.13) имеет место. Так как
ср — cv~AR, то теперь
*=4г- <19Н)
Уравнение (19.10) примет вид:
du, с„ 4- с„ RC
(XH-2|x)H-gj=fl— и2 — Ьи + — . (19.15)
Уравнение это легко интегрируется. Прежде всего, его можно представить в
виде
(X 4- 2р) и ~ = a ~^v- (и — их) (и — и2), (19.16)
где постоянные их и и2 связаны с bja и с/а соотношениями:
2с„ Ъ 2R с
- == Ц —1_ lit. --------j--- —“ —
cp + cv а 1T ! cp + cv а 12 Мы можем теперь записать интеграл (19.16) в
виде:
Ц| -In Ц|~м In u~“2 , (19.17)
2-/.(л + 2ц) и 1 — и2 «1—и2 их—и2 и,—и2
где произвольная постоянная интегрирования, входящая вместе с х
аддитивно, положена равной нулю (что, конечно, не нарушает
31*
484
движение вязкой жидкости
[ГЛ. II
общности). Выражение для температуры Т примет при этом вид: у * + 1
2 xR
- “4ГТ "2) ' (19Л§)
Физический смысл (19.17) очень прост. При х — — оо мы имеем u — ult при х
= ~|-с>о и = и2 (нетрудно убедиться, что мы всегда можем считать их >
и2). Назовём ещё через рх, рх, Тх плотность, давление и температуру при х
= — оо, а через р2, р2, Т2 — те же величины при х = -\-со. Равенство
(19.5) даст тогда:
Pi«i = p2«2. (19.19)
Так как вследствие (19.16) dujdx обращается на бесконечности
в нуль, равенство (19.6) даст:
Ьи\ + Р\ — ?2и1 + Рг (19.20)
Наконец, исключим b из (19.6) и (19.7) и заметим, что на
беско-
нечности не только du/dx, но и dTjdx обращаются в нуль. Получим после
простых преобразований
/ с Тх и? \ ICVT2 м2 \
РА у ~j-----b 2 / ~Ь Ul^1 ~ ^2Й2 \ —А ^ ТГ) “2^2' (19.21)
Но уравнения (19.19) — (19.21) в точности совпадают с теми соотношениями,
которые получаются из условий существования сильных разрывов в идеальной
жидкости [глава первая, формулы (2.15) — (2.17)] для случая
одномерного стационарного движения (0 = — Vn = — и).
В идеальной жидкости мы имели бы движение с постоянной
ско-
ростью их, плотностью Р], давлением рх, вплоть до поверхности разрыва;
затем движение скачком приняло бы скорость а,,, плотность р2, давление
р2. В вязкой жидкости мы имеем непрерывный переход
от их к и2 ПРИ помощи (19.17); по (19.5) мы можем найти о,
по (19.6) — р. Мы имеем как бы «размывание» поверхности разрыва.
Какова же будет толщина переходного слоя, заменяющего поверхность
разрыва? Подсчитаем по (19.17), чему будет равно расстояние Ах, на
протяжении которого и изменится от 0,9 их до 1,1 и2. Это будет
. 2у. X -(- 2jj. ( п . 0,1 п , 1 .
0,9л — 1 )
Дх — г-;-----------<----------------г 1П Н-------------г III -7Г-.—
v,
у.+ 1 а ( п — 1 п—1,1 1 п — 1 0,1 |
где п = их/и2.
Пусть
тогда будет
/=1,40; -j—= 0,133 см2/сек, п= 2:
их — 4 ? 10 4 с м/сек,
Ах = 2;1Л° 4- ДД Ю-’1In 162 ^ 0,263 ? 10-5 см. 2,40 3 4
ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОИ ПЛАСТИНКИ
485
Величина эта имеет порядок длины пробега молекул; такое расстояние
пренебрежимо с точки зрения механики сплошной среды. Это является до
некоторой степени подтверждением правильности тех исследований разрывов,
которое мы проводили в главе по газовой динамике. Некоторым
предостережением является то, что при рассмотрении расстояний порядка
длины пробега молекулы мы едва ли можем пользоваться уравнениями механики
