Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
162).
Мы можем теперь отыскивать частные решения уравнения (18.13). Так,
например, Гамель нашёл решение этого уравнения, зависящее только от ср:
ЧГ = /(Т). (18.17)
Осеен !) рассмотрел решения уравнения (18.13) вида:
ф =/(?) -Их,
(18.18)
') О seen С. W., Exakte Losungen der hydrodynamischen Differentialglei-
chungen, Arkiv for Matematik, Astr. und Fysik, №№ 14, 22 (1927).
РЕШЕНИЕ ГАМЕЛЯ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ
479
где с — постоянное число; Розенблатт !) же изучил более общие решения
уравнения (18.13), имеющие вид:
^ = /(<P) + Xm/i(<P). (18.19)
где т — положительное число.
Рассмотрим, например, случай Гамеля, т. е. положим, что
^ = /(?); (18.20)
тогда уравнение (18.13) приводит к уравнению четвёртого порядка для
определения функции /:
/IV _|_ 2а/"' + (а2 + b2) /" — ~ f'f" — 0,
которое сразу интегрируется
+ 2af" + {а2 + Ь2) Г - ~ f = С,
где С есть произвольная постоянная. Положим теперь, вместе с Гамелем,
/' = «, (18.21) тогда и удовлетворяет уравнению второго порядка
и" + 2аи' + (а2 + Ь2) и — ~ и2 = С. (18.22)
Проекции скорости в цилиндрических координатах просто выражаются через а;
в самом деле, аналогично формулам (18.1), мы можем написать:
1 дЧ? дЧГ ... О0.
*' = ТЖ' ч = —дг- (18-23>
Поэтому на основании (18.20) и (18.16) мы имеем, например:
1 № 1 ч д? 26 и
Vr ~~ г дй ~ г ? ^ дд ~ а3 + Ь2 г ‘
Итак, мы получаем формулы:
26 и 2а и. ,, „ п..
vr— a2_j_62 7. V*— а2 + Ь2 У (18.24)
Заметим, что при Ь = 0 мы получаем vr = 0, т. е. получаем движение по
концентрическим окружностям, разобранное нами в § 15; напротив, при а —0
мы получаем т/9 = 0, т. е. мы имеем дело с чисто радиальным течением,
случай, рассмотренный нами в предыдущем параграфе.
') Rosenblatt A., Solutions exactes des equations du mouvement des
liquides visqueux, Memorial des Sciences Mathematiques, fasc. 72 (1935).
Эта работа содержит обзор точных решений уравнений движения вязкой
жидкости.
480
движение вязкой жидкости
(ГЛ. II
Если же как а, так и Ь отличны от нуля, то уравнением линий тока будет
служить
Ч" = const..
так как ЧГ зависит только от ср, то линиями тока будут кривые
ср = const., т. е. a In г -f- Ьд = const. (18.25)
Мы уже упоминали, что эти кривые образуют семейство логарифми-
ческих спиралей. Итак, решение Гамеля определяет движение по
логарифмическим спиралям.
В качестве второго примера отыщем частное решение уравнения (18.13),
имеющее вид:
«г = /(?) + Сх. (18.26)
Вводя прежнее обозначение
/'(?) = «. (18.27)
будем, очевидно, иметь:
дНГ dW . W , (Ж ж ^
^=-5^-+а?г = «7. = 1РГ = С>
поэтому уравнение (18.13) приведётся к такому:
v [и'" -|- 2 аи" -{-(a2 -f- b2) а’\ — аСи' Ьиа' -|-Си”.
После простого интегрирования получаем:
и" 2аи' (a2-f- bQ) и — и -f- n2-f- ~ и’ С(18.28)
где Сх — новая постоянная. Полученное уравнение легко интегрируется до
конца в том частном случае, когда постоянная С имеет такое значение, что
из уравнения выпадают члены, содержащие а т. е. когда
С = 2 va,
так что
'F = /(?) + 2vaX. (18.29)
В самом деле, умножая вытекающее из (18.28) уравнение:
и'' = (а*-Ь*)а + ±и*-\-С,
на и', мы сможем проинтегрировать его ещё один раз, в результате чего
получим:
и’2 — и? -(- (а2 — &) и2 + 2Cj« + С2,
где С2— новая постоянная. Если теперь подставить
, du
§ 191 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКО!-' СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 481
то переменные могут быть разделены, и мы получаем искомое решение в виде:
? - <?„ = /-г-. = • (18.30)
' у J-u3 + (a*—b*)u2 + 2С,и + С2
Полученное уравнение определяет <р как некоторую функцию от и; обратная
функция м (ср) является, как известно, эллиптической функцией.
§ 19. Одномерное движение вязкой сжимаемой жидкости.
В качестве примера точного решения для вязкой сжимаемой жидкости
рассмотрим одномерное стационарное движение, в котором все
гидродинамические элементы зависят лишь от одной координаты, например, от
х:
vx=u(x), vy = vz = 0, р = р{х), р = р(лг).
Здесь
du
div v — —г—, dx
и мы можем написать
Рхх = — P + Q'4r 2р) . Рху = Pyx = Pxz = Ргх = Pyz = Pzy
= °-
, ., du . s du
Руу = -Р + '- Tx' Pzz = ~P+*-dX-Если внешних сил нет, первое из уравнений
движения (4.8) даст du 1 d
11 dx ? dx
[—P + O'- + 2ц) I (19.1)
остальные два выполняются сами собой. Уравнение неразрывности даст
Т7 = °' <19-2>
Наконец, уравнение притока тепла (10.5) в нашем движении приведётся к
виду
? + Лт ? 1 = ЛЕ (* 4J) + Л (1. + 2,, (§.)?. (19.3)
причём, как и прежде, мы считаем, что
T=-fc. (19.4)
Уравнение (19.2) интегрируется и даёт
ом = а = const. (19.5)
•31 Теоретическая гидромеханика, ч. II
482 ДВИЖЕНИЕ вязкой ЖИДКОСТИ [ГЛ. и
Умножая обе части (19.1) на р и используя (19.5), получим, путём
интегрирования:
аи — — р (X -f- 2р.) -f- Ь, (19.6)
где b — вторая произвольная постоянная интегрирования.
Обратимся к уравнению (19.3). Из уравнения (19.6) мы можем найти (X-f-
2р.) du/dx и вставить это в правую часть (19.3); кроме того, мы можем
заменить ри по (19.5). Мы получим:
йТ . , d 1 d (и dT\ , . du , . ,,
c*a4f+Apa^J —17\k 4J) + AdI\au + P — bi’
