Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
безразмерной координате \ из условий:
/0 = /Д7С(«). Уг = \\/~ jjrl (20.19)
При этом мы получим уравнение
2V" -4- СС" = 0 (20.20)
и краевое условие
С(0) = С/(0) = 0, rJ (00) = 1. (20.21)
') Bias ius Н., Grenzschichten in Fiiissigkeiien mit kleiner Reibung. Zs.
1. Ma!h. 11. Phys. 156 (1908), стр. 1—37.
§ 20] ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНКИ 489
Ищем решение уравнения (20.20) в виде ряда, расположенного по
возрастающим степеням 5. Обозначим ещё
С" (0) = а. (20.22)
Тогда последовательно дифференцируя уравнение (20.20) и используя условия
(20.21), легко найдём
U" (0) = 0; CIV (0) == 0; Cv (0) = — 1 а*.
Применяя к равенству (20.20) формулу Лейбница, легко обнаружить, что
вообще
АЧ0)==С<3* + 1’(0) = 0 (А = 0, 1, 2, . . .). (20.23)
Положим, далее,
C(3ft+2)(0) =(— ckak+l (ft =0, 1, 2, ...) (20.24)
н найдём рекуррентные соотношения для коэффициентов ск\
мы
имеем прежде всего с0= 1. Применим теперь формулу Лейбница к (20.20),
взяв от обеих частей этого равенства производную
порядка 3ft—1; тогда получим:
^(ЗЛ: +-2) 1 j~^(3fe —• 1)гr/ | 1 j rj'dk — 2)Д" |
j Г Г Я-1) j
где ( ^ j означает биноминальный коэффициент.
Пользуясь формулами (20.23) для начальных значений производных, получим
равенство:
Г (ЗА + 2) (()) _ _ _1_ J-C(3fc -1) (0) у (0) rJ3k-2) rj,t (0) +
+' (0)С<м+1> (0)] = — 1 (3*3Д 1) С(3й_1_3г' (0) С(3г+2>(0);
г=0 '
подставляя, наконец, сюда значения (20.24) и сокращая всё равенство
/ 1'к
на ^---^ j ak+l. получим искомую рекуррентную формулу:
к-1
(20-25)
г=0
Теперь мы без труда можем написать ряд Тейлора для функции С:
ад“?Н)'АА'‘ч (20-26)
й=0
490
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
При заданном а этот ряд сходится для достаточно малых по модулю значений
?. При а=1 мы получаем функцию
СО
С0© = ( "2) (3k + 2)i &k+2, (20.27)
*=0 '
дающую решение уравнения (20.20), определяющееся начальными условиями
С0(0> — 0, Со (0) = 0, Со (0) =г 1. (20.28)
Сравнивая выражения (20.26) и (20.27), легко убедиться, что
С (&) = аЧ„ (&»'/•). (20.29)
При больших значениях \ мы не можем воспользоваться рядом (20.27) для
вычисления функции С0© и должны прибегнуть к аналитическому продолжению,
чтобы получить значения функции С0© для всех положительных значений %. В
рассматриваемом случае практически проще всего произвести численное
интегрирование уравнения (20.20). В самом деле, мы сейчас покажем,
опираясь на элементарные соображения, что кривая С0© имеет очень
плавный характер.
Вследствие начальных условий (20.28) функция С0© и её две первые
производные Со© и Со (0 при малых положительных значениях $ положительны,
а так как при всяком ?
Со" = — -j СоСо. (20.30)
то С<Г© будет при тех же условиях отрицательна. Покажем, что при всех
положительных ? функция С0© и её производные Со($) и Со© будут
положительны, а производная Со ©будет отрицательна. Рассмотрим прежде
всего Со© и допустим, что эта функция обращается в нуль в некоторой точке
\ > 0, оставаясь положительной для 5 < V Тогда в этой точке и Со"
обратится в нуль, согласно уравнению (20.30). Но дифференцирование этого
уравнения даёт нам
„IV 1 r’7" 1 г г"'
ч0 2 2 ^(г*0 »
откуда следовало бы, что и
C{,v©)=0,
и т. д. В результате получилось бы, что в точке все производные функции
Со©, начиная со второй, обращаются в нуль, т. е. что функция С0© есть
линейная функция, а это противоречит начальным условиям (20.28).
§ 20] ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНКИ 491
Итак, при всех положительных X функция Со (?) положительна, но тогда
ясно, что
^ Со (I) dX,
о
так же как Е
Со(*)-/г'-
Со (0 = /
о
тоже положительны, а следовательно, по уравнению (20.30) функция Со (С)
отрицательна.
Теперь ясно, что при изменении С от 0 до оо функция Со (С) всё время
убывает, функции же Со (С) и Со (С) всё время возрастают.
Докажем, наконец, что при С—>со значение Со (С) стремится к определённому
конечному положительному значению к. Возьмём какое-нибудь определённое
значение С, например С=1, и вычислим С0(1) и Со(1). Вследствие сказанного
ясно, что при С> 1
С0(5) > Со(1) -ЬСо(1)(5 — 1) (20.31)
и, следовательно, С0(?) неограниченно возрастает вместе с X. Из равенства
(20.30) мы можем вывести, что
ч__ 1
с 2
интегрируя это соотношение по С в пределах от 0 до С и принимая во
внимание начальные условия (20.28), получим:
?
1 г _±
In Со (С) = — у J С0 (С) dX или Со (Х) — е 0
о
Ещё раз интегрируя это соотношение и пользуясь (20.28), найдём:
?
? _lfco(?)d? с; (X) = fe 0 dX. (20.32)
о
При \ —> со этот интеграл сходится, так как подынтегральная функ-
?
ция очень быстро стремится к нулю, ибо Jzo(X)dX при больших X
о
по неравенству (20.31) имеет порядок С2. Итак, мы доказали наличие
предельного равенства
lim С(,(С) —к.
$->о*
492
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
Произведя численное интегрирование уравнения (20.30), получаем:
& = 2,0854.
Подберём теперь а так, чтобы удовлетворить граничному условию (20.22).
Соотношение (20.29) показывает, что
с' (f) = a4o(V/s)
