Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно, при Ё —> со
lim У (У) = У1зк.
; СО
Но по условию левая часть этого равенства должна равняться единице,
поэтому величина а должна иметь следующее значение:
2
= = 0,332 ]).
Нам понадобятся ещё ассимптотические выражения для функции С и её
производных при больших значениях С Прежде всего, аналогично (20.32),
имеем
2.
2
У' = о.е 0 . (20.33)
Проинтегрируем обе части этого равенства по с от 0 до со и учтём условие
(20.21). Получим
y = l+.Jae 0 drc. (20.34)
Выполним ещё одно интегрирование по С от оо до С Будем иметь
if-
С
= $ — X-i- J J ае 0 di.dt (2С.35)
ОО со
где >. — постоянная интегрирования, или, зыполняя интегрирование по
частям,
г-
ч = ? — л-f-a J (?— 7j)e 0 (20.36)
>) Более точное значение a = 0,33206...
ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНКИ
493
Постоянная X может быть определена, когда решение известно, по формуле
— Х = lim (С — О-
i -» со
Производя численное интегрирование, получим
Х = 1,72077.
Мы можем, таким образом, представить С в виде
С = 5 — Х+С©, (20.37)
где С(?) обращается в нуль при $->оо.
Возвращаясь к (20.33), представим теперь входящий туда интеграл в виде ;
а
f L dl~ i (S - X)* -1X2 + f С (S) rfC =
0 0
оо ц
= 2" — X)2 + У 4~ J“ ^^1
так что
где
if
_I(a-x)2 2
C" = Ce e 00 , (20.38)
- л
С = аг 4 ? 0
Численное значение для С будет:
С = 0,23378.
Теперь по (20.34) имеем
а
а 1 _1 Г
/— — а—х)2 2 j
е 4 е 0 dl (20.39)
со
а по (20.36) и (20.37)
?
Е J x<tTt
С= С f (? — ?»))« 03 rfij. (20.40;
С</?
494
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости
[ГЛ. II
Так как
J (5— -П)е 4<П Х> dri = — 2 (S - - X) J zi-xya е 4 М dri =
= 4-^
(5-Х)*
(5-Х)*
то, по (20.40), имеем для больших 5:
(Е-М:
С = С ? О Ur
. /
(е-*и \
гд = с.0,*_^_]
(5~Х)2,
СО
и мы можем написать окончательно для больших $ (?^>Х):
1
С" = Се 4 +0
V == 1 + с J -
dr. 4- О
(г^-’Т-хН,
С = Е —X+Cj(= —Ч)е ,1'"Ч’<й]+о(« 7 8
(20.41)
Обращаясь к определению функций /х, /2, заметим, что уравнение (20.13)
может быть представлено в виде:
/о/:-Ь2«/'/; —(2«— 1)/о/„] =/"„(V,. л......../„.О-
Введём, наряду с (20.19), безразмерную функцию С„ из равенства
A = ^vl7(^)"cn(S).
Выполняя квадратуру, получим теперь (левая часть обращается в нуль при >-
со, так что справа следует взять интеграл от со до 5):
—-л 5
2С + СС + 2дС'С-(2,1 - 1)с\ = 8^-2(^)2 " / /=?„ rfS. (20.42)
СО
В частности, для функции С; в правой части (20.11) заменим v/Jv
п v/'" по (20.17) и (20.16); получим после простых
преобразований
0 = ^(y,f-~/«f = 2*’Af (20.43)
§ 201 ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНКИ
495
так что, выполняя квадратуру в правой части и замечая, что по (20.41) (&'
— — X, получим окончательно
Как обычно, решение ищем в виде суммы общего решения однородного
уравнения (20.44) и частного решения неоднородного уравнения. Однородное
уравнение имеет в качестве одного из решений С„ — U, в чём убеждаемся
простой подстановкой с учётом уравнения (20.20). Остальные два решения
однородного уравнения ищем
в виде '(,n — Ua. Обозначим ещё v = ^r. Тогда для v имеем
дифференциальное уравнение второго порядка
Назовём его независимые решения буквами vx и v2.
Три решения однородного уравнения — мы назовем их Yv У2, К3 — мы можем
тогда представить в виде:
Поведение функций vx, v2 (и К2, К3) при больших I можно определить из
следующих соображений. Заметим, что по асимптотическим выражениям (20.41)
коэффициенты С"/U и С"7/С' в (20.45) стремятся к нулю при больших ?(С7 —
>1, С—>$— X); поэтому решения vx и v2 при больших S окажутся близкими к
решениям уравнений
Оба независимых решения этого последнего уравнения известны. Мы можем
положить
где #2/1-1 — полином Эрмита степени 2п—1.
Имея это в виду, можем считать, что при больших $ наши решения ведут себя
как
2с;7/+сс;7+2(,vx—с с, = ~ №’—о2 — >.2]. (20.44)
2v" + (б с) v' + 2лС7) v = 0. (20.45)
2о" + (? — X) v'2 -f 2 ttv = 0.
2„_2 -T
K3~(?-X)
-2/1 + 1
496
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ТГ.П U
Как обычно записываем теперь общее решение уравнения (20.42) в виде
С
Л Y9Yi — Y'Y,
+ j 2\ 2-^/©^ +
00
п г.,к,'- r'r. г уУ — уУ
+ К2 J f (5) di _|_ Кз J -Li^^-L-L / (?) d$. (20.46)
>-0 С»)
где W7 — детерминант Вронского системы, который можно взять в виде W =
Z,", а / — правая часть (20.42).
Асимптотическое представление подынтегральных выражений будет
соответственно
const./©, еУ{1~ЦгС,-1у2п fy (S—>.)гл-,т При и=1 имеем, по (20.41),
4/(0 = (К/ — С)2->.2~
f $ — tj) е }) dt]
Теперь мы видим, что (для ге=1) все члены правой части (20.46), за
исключением члена, содержащего С3, таковы, что соответствую-
щее Ci—-е 4 . Мы должны, поэтому, положить С3 = 0. Что же
до Су и С2, то их надо определить из краевых условий.
Аналогичные соображения можно высказать относительно функций с любым
значком п. На рис. 164 нанесены значения функций С© и С[©. На рис. 165
нанесены величины vx/U и I0vy/U в функ-
4(7
циях от безразмерного расстояния К = —у. Подсчёт произведен по
формуле (20.9) (/2, /3 и далее считаются нулями) для безразмер-4(7
