Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Вид этого условия наводит на мысль искать решение уравнения
(22.1) в форме
v (г, 6) — А (г) sin 0. (22.3)
МЕДЛЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ СФЕРЫ
503
Подстановка этого значения v приводит нас к обыкновенному
дифференциальному уравнению Эйлера
сРА , 2 dA 2А
dr2 г dr r^
которое легко интегрируется к даёт нам, что
Л(г) = С,г + -^. (22.4)
Постоянные Сх и С2 должны определяться из граничных условий.
В случае бесконечной жидкости нужно, очевидно, принять ?^ = 0, чтобы
скорость жидкости на бесконечности стремилась к нулю; итак, в этом случае
, йч ^ sin О V (г, в) = С -р- ;
граничное условие (22.2) даёт нам, что С — ша3, так что мы получаем
окончательную формулу:
, с. соа3 sin 0 W(r, 6) = р . (22.0)
Для поддержания вращения сферы необходимо к ней прикладывать вращающий
момент М. Величину этого момента мы можем рассчитать по формулам (5.17),
которые дают в рассматриваемом случае:
Рг\ = ^(^г — у-) ==—3p.cosin0; (22.6)
такое напряжение действует на каждую единицу площади зоны сферы,
расположенной между двумя параллелями сферы; так как площадь этой зоны
равна 2ка sin 8a dft и так как плечом этих сил напряжения служит,
очевидно, a sin 6, то для искомого вращающего момента мы получаем
выражение:
X
М = j Зро sin 0 • a sin G • 2т~ a2 sin 6 dd =
о
К
— 6кр.<оа3 J sin3 8 г?8 = 8тср. а3ш . (22.7) о
Если бы рассматривалось движение вязкой жидкости между Двумя сферами
радиусов ах и а2, вращающимися с угловыми скоростями u)j и ш2 около
общего диаметра, то, исходя из того же решения (22.4) и определяя
произвольные постоянные Сх и Сг из граничных условий
А (/?[) = о)! av А (г2) = ш2 а2,
504
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
1ГЛ. И
мы пришли бы к следующему решению задачи:
v(r, e)==__^al_[mie3(r3_a3)_m2fl3(r3_a3)]i {22Я)
Для вращающего момента в этом случае получаем выражение
3 3
М = 8~|а (u)j — ш2) -3—--у • (22.9)
ai — ai
§ 23. Медленное движение сферы. Рассмотрим теперь задачу о течении вязкой
жидкости, вызываемом движением сферы радиуса а, перемещающейся
прямолинейно и равномерно со скоростью U. Сразу же отметим, что задача,
очевидно, эквивалентна задаче об обтекании сферы радиуса а потоком вязкой
жидкости, имеющим на бесконечности постоянную по величине и направлению
скорость U.
За число Рейнольдса в рассматриваемом случае можно, очевидно, взять
R=~. (23.1)
Если число Рейнольдса R достаточно мало, т, е. для заданной жидкости либо
скорость движения сферы достаточно мала, либо радиус сферы очень мал, то
можно опять применить приближённый метод решения задачи, использованный
нами в предыдущих параграфах, а именно при интегрировании уравнений
движения отбросить в них инерционные члены.
Так именно и поступил Стокс1), впервые решивший в 1851 г. задачу о
движении сферы в вязкой жидкости. Отбрасывая в основных уравнениях
движения (5.1) инерционные члены и полагая, что внешние силы отсутствуют,
мы получим систему уравнений:
= Дц -^- = рДг/ —=и.Дг>г
дх 1 хду 1 У дг 1 2
dvx , дуу . дуг
дх ' ду ' дг
(23.2)
Рассматривая, для определённости, задачу об обтекании покоящейся сферы,
центр которой находится в начале координат, потоком вязкой жидкости,
будем, очевидно, иметь следующие граничные условия:
vx = vy = v2 = 0 при г —а, (23.3)
где Г = У X2 у1z2\ кроме того, считая, что на бесконечности поток имеет
направление, параллельное положительной оси Ох, будем
') Stokes G. G., 1. с. § 4 и On the effect of the internal friction of
fluids on the motion of pendulums, Math, and Phys. Papers, 3, стр. 1.
МЕДЛЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СФЕРЫ
505
иметь следующие условия на бесконечности:
vv
?0,
?0 при г*
* со.
(23.4)
Среди различных методов решения поставленной задачи одним из наиболее
естественных, хотя, может быть, и несколько громоздким, является метод
использования сферических координат, который мы и применим. Совершенно
очевидно, что, вводя сферические координаты г, 6, X, вследствие симметрии
движения относительно оси Ох, от которой мы будем отсчитывать углы 0, мы
будем иметь:
vr = V, (г, 6), VQ — V^r, 0), vx = 0, р = р (г, 0).
Поэтому основные уравнения движения (5.16), после отбрасывания в них
инерционных членов, примут вид:
дг
1 др
г оО
\ дг2
I d2vr . 2 dvr .
*•2 1 f rir I
i c.ig 6 dvr f r2
dd2 1 r dr 2 2vr
2 ctgO
r2 00
d4;
1 d2Vf, , 2 dvi)
dr2
df)2
? +
r dr
ctg 6 dvri r2 00
(23.5)
2 dvr
T2 ~d?
Щ
r2 sin2 0
dvr . 1 0t»9
~dF~'
2vr v,j ctg e
:0.
r dd r r
Граничные условия (23.3) заменятся следующими: vr (а, 0) — 0, vb (а, 0) —
0.
(23.6)
Что же касается условий на бесконечности, то, как видно из рис. 166, они
примут, очевидно, такой вид:
vr->Ucos0, vb-> — U sin 0
при
г —> со. (23.7)
Вид граничных условий наводит на мысль попробовать отыскать решения
основных уравнений (23.5) в форме:
vT (г, 6) = / (г) cos 0,
?yfl (г, 6) = — g (г) sin 0, p(r, 0) ~ а/г (г) cos 0.
В самом деле, простое вычисление показывает, что для трех функций /(г),
g(r) и h(r) получаются из (23.5) три обыкновенных
Рис. 166.
506
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
