Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ 11
дифференциальных уравнения:
*' = /" +7/'—
f' + —J8) = о,
(23.8)
причём из (23.6) и (23.7) вытекают следующие граничные условия: /(а) — 0,
?(а) = 0, /(co) = U, g(oo)~U. (23.9)
Решение системы (23.8) не представляет никакого труда; третье уравнение
определяет нам g:
e = \f'r + f, (23.10)
после чего из второго уравнения (23.8) после простых дифференцирований
находим h\
h = ~f"'r2+brf"+2f (23.11)
и, наконец, первое уравнение (23.8) доставляет дифференциальное уравнение
для определения /:
r3fiv &r2f'" -f 8rf" — 8/' = 0. (23.12)
Но это последнее уравнение есть уравнение типа Эйлера и потому легко
интегрируется; среди его частных решений всегда существуют решения вида
f = rk\
уравнение будет удовлетворяться, если к есть решение уравнения четвёртой
степени
к (k — 1) (к — 2) (к — 3) + 8к (к — 1) (к — 2) + 8k (k — 1) — 8k = 0 или
k{k — 2)(ft+ l)(ft + 3) = 0,
т. e. к должно принимать одно из следующих четырёх значений: k = 2, k =
0, к — —1, k — — 3.
Таким образом, частными интегралами уравнения (23.12) являются
fi = r2, /а= 1. /з=4. /4 = -рг.
я общим его интегралом будет
А , В
МЕДЛЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СФЕРЫ
507
Уравнения (23.10) и (23.11) дают теперь соответствующие значения g и А:
Постоянные А, В, С и D определяются из граничных условий
(23.9), которые дают:
Собирая все полученные результаты, приходим к следующему решению задачи:
Вычислим ещё силу, с которой поток воздействует на сферу-Для этого
вычислим по формулам (5.17) напряжения, действующие на элементы сферы:
На поверхности сферы vr — vB~0, а следовательно, и dvr/db~Q, dVit/dQ — 0;
наконец, из последнего из уравнений (23.5) ясно, что dvTjdr на
поверхности сферы тоже обращается в нуль, поэтому предыдущие формулы
сильно упрощаются и дают для точек сферы следующие соотношения:
Направления этих сил показаны на рис. 166. Ясно, что направление
равнодействующей всех сил, приложенных к элементам сферы, совпадает с
направлением потока на бесконечности. Поэтому величина этой
равнодействующей определится формулой
g = — “27 + С + 2Dr2; h =\0Dr.
D = 0, C=U, B = ~-^Ua, A==~Uaz.
vr(r, 9) = U cose [l+
vt{r. e) = _i/sine[i-!-i_I-?], ;? (23.13)
p (r, 6) = — ~ p. cos 0.
J(prr cos 0 — prH sin 9) 2~a2 sin 0 d$ — ZtmUajsin 0 dd
о
0
или
W =
(23.14)
508
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
Полученная формула для силы сопротивления, испытываемой сферой в вязкой
жидкости, носит название формулы Стокса. I [нтересно попутно отметить,
что та часть силы сопротивления, которая происходит за счет сил давления,
равна
Т. к
J ргг cos 0 • 2 т.а2 sin 0 db = Z-ку.и a J cos2 б sin б dd = 2-р. U а
(23.15)
о о
и составляет, таким образом, только третью часть полной силы
сопротивления, испытываемого сферой при её движении в вязкой
жидкости, остальные две трети происходят за счет сил вязкости.
На рис. 167 построены линии тока полученного движения. Аналитически эти
линии тока можно получить следующим образом. Проведём через точку М с
координатами (г, 6) окружность с центром на оси Ох, расположенную в
плоскости, перпендикулярной к этой оси, и подсчитаем количество жидкости,
протекающей через Рис- 167. сегмент сферы радиуса г с центром
в начале координат, ограниченной этой окружностью; это количество можно
определить формулой
о
?(г, 6) = fvr(r, в) 2-r2 sin 0 dd. (23.16)
о
В нашем случае для функции тока W получается выражение
? (г, 0) = itU sin2 б (г2 — У аг +• ~ . (23.17)
Приведём ещё выражение функции тока для того случая, когда
рассматривается движение сферы в неограниченной жидкости, покоящейся на
бесконечности. Это движение получается из предыдущего наложением
добавочного потока со скоростью U, направленной по отрицательной оси Ох.
Аналитически это наложение сводится к вычитанию из выражения (23.13) для
vr величины U cos б и соответственно из выражения для vf, величины — U
sin б; поэтому для рассматриваемого случая получим:
МЕДЛЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СФЕРЫ
509
и, следовательно, функция тока будет выражаться уравнением:
W(r, = sin2 9 ----3 -? ). (23.19)
Соответствующие линии тока абсолютного движения сферы показаны на рис.
168. Как эти линии тока, так и линии тока относительного движения (рис.
167) лежат совершенно симметрично относительно плоскости,
перпендикулярной к направлению движения сферы и проходящей через центр
сферы.
Чтобы получить решение в декартовых координатах, совершим преобразование
по известным формулам:
х — г cos 0, vx = vrcosQ — vhcosb, j
у = r sin 0 cosX, vy — vr sin 8 cos X cos 0 cos),—vx sin X, > (23.20)
z — r sin 6 sin X, vz — vr sin 0 sin X -)- v() cos 0 sin X -)- vx cos X;
J
в результате получим для случая обтекания сферы:
Л За 1 я3 \
\ “I7-773)'
я2 \
~fr)’
3 Uax2
3 Uax у /,
v> = - т-7^11
3 Uaxz ^
j- (23.21)
V,—-
-V
Поставим теперь вопрос решение может считаться достаточным решению
задачи. Для этого нужно посмотреть, как велики те члены, которыми мы
пренебрегли. Обращаясь для такой оценки к уравнениям (5.16) и
рассматривая для простоты только точки, лежащие на оси Ох, для которых 6
