Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
типа уравнений (2.1.15). Однако если интересоваться только моментами
соответствующего распределения, то достаточно выяснить условия
применимости формул
(1.18) для средних значений, уравнений (1.19) для корреляций и т. д.
Рассмотрим вывод условий применимости формул (1.18) для средних величин,
следуя работе [15]. Этот вывод является
(ху) = 0, (х2)
185
иллюстрацией общего метода последовательных приближений, изложенного в
третьей главе.
Усредним систему уравнений (1.1). Для вычисления корреляции <z (t)x
(t)) воспользуемся выражением (2.3.6). Тогда система уравнений для
средних величин примет вид
t
<?> - <У>, <?¦> = - (r)о<^> - соо^ йтБ(? - т)</-|^Ь> . (1.44)
о
Отметим, что интеграл, стоящий в правой части (1.44), является совместным
кумулянтом для процесса z (t) и решения х (t) задачи
(1.1) (см. формулу (2.3.19)).
Система уравнений (1.44) не замкнута, так как содержит новую
неизвестную функцию Ьх (t)/8z (т). Уравнение для нее получим, варьируя
(1.1) по z (т) при х < t\
д 6х (г) б у (t)
dt 6z (t) 6z (t) '
ot 6z (x) ' n 6z (T)
(1.45)
Начальными условиями для (1.45), в силу (1.3), будут условия
?gf=°. "few- ^
При усреднении системы (1.45) возникает новая неизвестная функция Ьгх
(t)/bz (tx)6z (т2), связанная со второй кумулянтной функцией z (?) и х
(t), и т. д. Если воспользоваться условием дель-та-коррелированности (В
(х) = 2сг26 (т)) в (1.44), то мы придем' к системе уравнений (1.16),
соответствующей УЭФ. Затем условие дельта-коррелированности можно
использовать в системе уравнений (1.45). При этом мы получим замкнутую
систему уравнений более высокого порядка, являющуюся уже более точной. На
этом этапе, усредняя (1.45), получим систему уравнений
д / бх (t) \ __________ / б у (t) \
dt \ бг (t) / - \ 6z (t) / '
д /б y(t)\ ............ .,2/6 x(t)\
dt \ 6z (х) / 0 \ 6z
(х) /
(1.47)
с начальными условиями, согласно (1.46),
<¦?$>-"¦ <¦?$>-•<М8> Решение системы (1.47) с условиями (1.48)
имеет вид
<\_Й^У/>:= - ^o<x(r))sin(o0(t-x), (1.49)
и, следовательно, систему уравнений (1.44) можно записать в виде
186
ййтегро-дифференциального уравнения
1
<х> + а"о <х> = а'о ^dx В (т) sin ш0т <х (t - -г)). (1.50)
о
Уравнение (1.50) решается, например, с помощью преобразования Лапласа,
однако мы этого здесь делать не будем, так как нас интересуют в данном
случае только условия применимости уравнений (1.16) (см. следующий
параграф).
Характерным временем изменения величины <х) является t - 1/со0, а
величина В (т) имеет характерное время корреляции т0. Если со0т0 1, то
можно пренебречь изменением величины (t - т)> и ограничиться первым
членом разложения sin со0т по т. Таким образом, можно правую часть (1.50)
записать в виде
t
соц <х (t)> ^ dx xВ (г),
о
Для времен t т0 верхний предел интегрирования в (1.50) можно заменить на
бесконечность, и, следовательно, при условии (Т3сОоТо 1 (<?2 = В (0))
уравнение (1.50) переходит в уравнение соответствующее УЭФ (1.7).
Таким образом, условиями применимости решения (1.17) являются условия
"0т0<;1, ?>>т0, о2м2эт0<<1, (1.51)
которые, вообще говоря, накладывают слабое ограничение на интенсивность
флуктуаций о2. Последнее неравенство при этом имеет прозрачный физический
смысл и соответствует требованию, чтобы система за время т0 не успевала
бы параметрически возбудиться.
§ 2. Процессы с конечным радиусом корреляции
Рассмотрим теперь задачу (1.1) в случае, когда процесс 2 (t) обладает
конечным радиусом корреляции.
Для рассмотрения статистических характеристик задачи (1.1) можно
воспользоваться формулами, полученными в четвертой главе для систем
уравнений общего вида, конкретизируя их для системы (1.1). Однако мы
этого делать не будем для большей наглядности, а получим все результаты
непосредственно, конкретно для данной задачи.
Пусть сперва процесс 2 (t) - телеграфный случайный процесс. Усредним
(1.1), в результате получаем
<Х> == <У>, <У> = -<Ж> - "о <z (t)x (ф. (2.1)
Для расщепления корреляции в (2.1) можно воспользоваться либо выражением
(2.4.9), либо формулой дифференцирования
187
(4.3.4). С целью иллюстрации рассмотрим оба эти метода. Согласно (2.4.9)
уравнения (2.1) можно записать в виде
Следовательно, система уравнений (2.2) становится замкнутой:
Система уравнений (2.7) совпадает с уравнением (1.50), если в последнем
считать корреляционную функцию В (т) экспоненциальной. Такое совпадение
обусловлено тем фактом, что в системе уравнений (1.1) флуктуирующий
параметр z (т) находится при х (t), а не при у (t). В противном случае
