Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Мы будем следовать в изложении материала работам [91, 92].
Пусть неоднородная среда располагается в области 0 < х < L и внутри
этой области диэлектрическая проницаемость имеет вид е (х) = е + ё (х),
где ё = ех + ie2 - среднее значение и ё (х) = = е* (х) - флуктуирующая
часть е (х) (так что <ё (х)У = 0).
Пусть нормально к слою распространяется волна, волновое поле U (х)
которой удовлетворяет уравнению
(tm)VL + ^b(x)U(x)==0.
(1.1)
К уравнению такого же типа можно свести и случай наклонного падения волны
на неоднородный слой. Подобная задача рассматривалась в работе [93], где
было показано, что конкретный вид уравнения для электромагнитной волны
зависит от ее поляризации. В этой же работе рассматривается применение
развитой ниже теории к конкретной физической задаче о тепловом излучении
слоистых сред. Такая слоистая среда может служить моделью для льдов
Антарктиды.
Пусть при х Le (х) = = const (el = е^ -f-
iejJ, а при
х < 0 е (х) - е0 = const (е0 = е01 + ie02).
Рассмотрим задачу о падении на неоднородный слой из области х^> L
волны U0(x) = Al ехр {- ikL (х - L)}, где kL =
= со/el/c (рис. 13). Тогда волновое поле при х L будет
(с уче-
том отраженной волны) следующим:
U (х) = Al ехр {- ikL (х - L)} + В? ехр {ikL (х - L)}.
(1.2)
193
Здесь Al - заданная амплитуда падающей волны, a BL - неизвестная
амплитуда отраженной волны.
В области х < 0 решение имеет вид
U (х) = А0 ехр {- /к0х}, />•<, = /е0,
(1.3)
где А0 - неизвестная амплитуда прошедшей волны.
Решение внутри неоднородного слоя будем искать в виде U (х) -- А (х)
ехр {- ikx} +
4- В (х) ехр {ikx}, (1-4)
/ / / ALe^(T~
g^ik.fL-x)
7 / 7 /
//у/
//У/
0 //// 7
У// L.
V/
z/V z
где I - - |/ е- Поскольку вместо одной неизвестной функции U(x) мы ввели
две функции Л (х) и В (х), их можно связать произвольным условием,
которое удобно выбрать в виде
А' (х) ехр {- ikx} -f
Рис. 13. На слой Флуктуп- + В' (х) exv {ikx} = О (1.5)
рующеи среды из - оо падает 1 4 / г К } 4 '
волна Al ехр {-ikL (х - L)}. (через штрих обозначена производ-
... иая по х). В силу этого условия получаем
V (х) = - ik [А (х) ехр {- ikx} -
- В (х) ехр {ikx}]. (1.6)
На границах слоя х - 0 и х = L должны выполняться условия непрерывности
U (х) и V (х). Они имеют вид*)
А (0) -f В (0) .... А0, к [А (0) - В (0)] = к0А0; (1.7)
BL ехр {ikL (х-L)} - отраженная волна, а А0 ехр j -
ikax} -прошедшая волна.
А (L) ехр { - ikL} -f- В (L) ехр {ikL} - AL + BL,
(1.8)
к [A (L) exp {- ikL} - В (L) exp {ikL}] = kL(AL - BL). Дифференцируя
(1.6) и подставляя в (1.1), получаем уравнение А' (х) ехр {- ikx} - В'
(х) ехр {ikx} =
ё (;r) [. I (х) охр {- Их} - В (х) ехр {ikx}]. (1.9)
" у
Уравнения (1.5) и (1.9) образуют систему уравнений для амплитуд А и В.
Введем отношение полей
R (х) = В (х) ехр {ikx}!А (х) ехр {- ikx}.
*) Отметим, что условия (1.7), (1.8) можно записать^ виде краевых
условий для уравнения (1.1): U (L) + -г-1Г (Z,)=2<4r, U (0)--r~U'{0) = 0,
"X *0
194
Для этой величины из (1.Г)) и (1.9) легко получить уравнение
dR (х) dx
= 2ikR L- (,т) [1 f R (.г)]2. (1.10)
2c У г
Начальное условие к уравнению (1.10) следует из формул (1.7):
R (°> = - W = 1ГПГ-= 1 ' ' 1 • <U *)
-1 (( ) !¦' - V е0
Если уравнение (1.10) с начал ышм условием (1.11) решено, т. е.
найдена величина R (L), то, пользуясь формулами (1.8), легко найти
коэффициент отражения волны от слоя Rj, H/jAL, который выражается через Я
(L) следующим образом:
Ui (У ч. - - УI) -I-1 Уч.-1 - У j ) R (V _ |2)
( У "Г I' 8 ) "Г ( У гь I В j R (L)
Положим У в = пг + ш2 и обозначим ^пх = %, уп2 = у. Будем
считать, что //2* 11т- е- У ^ х- Тогда в правой части урав-
нения (1.10) можно приближенно считать
,тг-т^*^-ттг (1ЛЗ)
и переписать (1.10) в виде
~=2i (х -f iy) И *..? (<r) [1 R (х)?. (1.14)
Сохранение малой величины у в первом слагаемом правой части обеспечивает
правильный учет затухания. При этом функция R (х) связана с волновым
полем U (х) формулой
R (х) - kU ^ ~~lU' ^ 0 С 2 U' (х) - dU ^
п\х>- nU(x) + iU'(x) ' L dx ¦
Отметим, что введенное выше условие (1.5) фактически определяет
амплитуды А (х) и В (х). Ввиду произвольности этого условия поля А (х)
