Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
(Ак) = k ~ (п k.) мо ^i+i) " °2 {п Щ (c)о ^ •
(1.14')
180
Учитывая, что - - (ll - />¦) o>o^4*+ii (1-14') можно записать
в виде рекуррентного уравнения:
(АкУ = к (ylA._i) - (п - к) (Од (A^i) +
+ 02fl)J(" _ Щ (п __ /, _ !) <А^} (/, = 0) I"," ге)> (1Л4")
которое является, по сути дела, замкнутой системой п + 1 уравнений для
функций <А0), <ili>, . . <Ап>.
Что касается временных корреляций функций х (t) и у (t), то легко
видеть, что их структура описывается динамическими уравнениями типа (1.1)
при отсутствии флуктуаций, начальные условия к которым содержат
одновременные корреляции, определяемые решением системы уравнений (1.19).
В самом деле, пусть t > ?. Тогда, умножая систему уравнений (1.1) на х
(t') и усредняя, получаем
-^r(x(t)x(t')) = (y(t)x(t')), (x(t)x(t'y>\t=r = <x2(t')y, (1.28)
-J-<?j(t)x(t')} = - со2(x(t)x(t')}, (y(t)x(t')y |t=v = (y(t')x(t')y. При
выводе уравнений (1.28) используется тот факт, что
(Z(t)x(t)x(t')y = o2<^~^-x(t)x(t')y = 0 при tyt'.
Решение системы уравнений (1.28) имеет вид <.х (t) х (t')y = <х2 (t')y
cos co0 (t - t') +
+ -~-<.y(t')x(t')ysina0(t - t') (">"'), (1.28')
W0
где величины <ж2(?')>, (y(t')x(t')y соответствуют решениям системы
(1.19), т. е. выражениям (1.21).
Относительно медленный рост корреляций со временем, как указывалось
выше, сопровождается обычными колебательными процессами с частотой ш0.
Эти процессы можно исключить, усредняя соответствующие статистические
характеристики по периоду Т = 2n/oj0. Для этого вместо х (t) и у (t)
введем новые переменные - амплитуду и фазу колебаний - с помощью равенств
х (t) = A (t) sin (<о0* + ф (t)), (1.29)
у (t) == (й0А (t) cos ((a0t + ф (t)).
Подставляя (1.29) в (1.1), получаем систему уравнений для А и ф:
~^~=--------^-z(i)j4sin2ij3, =co0z(?)sin!4|?, (1.30)
где я)? = (adt + ф. Представляя амплитуду А (t) в виде А ¦= еи,-
можно переписать систему (1.30) в следующем виде:
= (о0 z(t) sin2^, --y-z (t) sin 2iJ). (1-31)
Начальные условия к (1.31) для примера (1.17) таковы:
ф (0) =0, и (0) = In 1/ш0. (1.17')
Уравнения такого типа рассматривались в § 4 гл. 3. Рассмотрим
совместную плотность вероятностей для решения системы уравнений (1.31):
Pt (и, ф) = <6 (и (t) - и)& (ф (0 - ф)>. (1.32)
Будем считать z(t) гауссовским дельта-коррелированным процессом. Тогда,
учитывая равенства
M- = co0sin^, Lsin2tl), (1.33)
УЭФ для функции (1.32) можно записать в виде
д Р -j2 -2
~дГ = ~г-<sin2 2^'> " aV° <shl sin2 +
+ ст2(c)о {cos 2i|> sin2 \рР/} - 2о2а>о ~ {sin3 -ф cos т|)Р() +
+ °2<0S-|Jr(sin4ll5/>")-
(1'34)
Усредняя (1.34) по периоду колебаний Т = 2л/о)0 (для этого достаточно
усреднить тригонометрические функции, входящие в правую часть (1.34), в
силу предположения о малости изменения статистических характеристик за
времена ~Т), получаем уравнение (см., например, [74])
дР, а*со2 д2 а2со2 дР. з , д*Р.
-дт- = -Q--т-j- Pi---------+ (1.35)
dt 8 dv> 1 4 ди ' 8 ° tfcp2 v '
с начальным условием
Р0 (и, ф) = 6 (ф)6 (и - и0) (и0 = In 1/<в0). (1.36)
Отметим, что система уравнений (1.31) соответствует системе
(3.4.46) с функциями А (и, ф) = С (и, ф) = 0, В (и, ф) =
= - у sin 2ф, D = ю0 sin2 ф. Соответствующее УЭФ (1.35) является
уравнением (3.4.49) при таком определении функций А, В, С и D. Из
уравнения (1.35) следует, что статистические характеристики амплитуды и
фазы колебаний (усредненные по периоду колебаний) статистически
независимы и соответствующие
182
йлоТностй вероятностей являются Гауссовскими:
Р< (Ф) = 77-^-ir-.' ехР I- -Л~7,1 '
Pt (и) = ----------ехр f ("-<u"2
(1.37)
где
Vz^u(t) \ 2а* (О
а2"п 9
а2(0П
<и (t)> = U" Н----------------- t, Oy (t) =
-- t,
°Ф (0 = 4-
(1.38)
Вычислим теперь выражения <а; (?)> и <ж2 (?)), используя
(1.37), (1.38). Так, для среднего значения <а; (?))> (используя формулы
(1.1.20) для вычисления средних) имеем выражение
(x(t)) - <A(t)) <sin(co0i + ф(0)> =
= <eu(i)) -jj <ехр {ico0^ + 1ф} - ехр {- iw0t - icp}> =
== ехр |<ы.) + 4-ol----------- Оф} sinco0i = -i- sin
сс0*,
L ** * ) Щ
совпадающее с (1.18). Для величины <,г2 (?)> аналогичным образом получаем
<х2 (f)> = <e2u> <sin2 (v>0t -f cp)> = <e2U> {1 - <cos 2 (w"f + cp)>} =
