Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Y 1' (°) ~ 1
" (0) 1
ехр {/ф (0)} - А к°
к '
(1.3:1)
(1-32)
Далее для разных целей нам будет удобнее использовать другие переменные.
Приведем соответствующие обозначения и уравнения в новых переменных:
R (ж) = р (х) ехр |1ф (х)}, р 0,
dp о , и в (х) . 9, .
_!L = _ 2VP + _ -I (1 _ р-) sI и Ф,
dx
• = 2х
х е (х)
^ I p. I
2
(р ^ 7') C0S(p
ф (0) = arg ~
ч> к - к
(1.33)
(1.34)
к -j- к0
L,
1 (х)=h iZpvt!<1 -гр2и + 2рcosехр{~§d^\I•
(1.35)
Если же представить R (х) следующим образом:
R (х) = ехр {- й (х) + гф (х)}, 0 ^ й (х) < оо, (1.36)
198
то
(1.37)
Отметим, что все системы (1.31), (1.34), (1.37) имеют общую структуру,
соответствующую системе уравнений (3.4.46).
Аналогичным методом можно рассмотреть и задачу, когда источник воли
находится внутри слоя случайно-неоднородной среды [84] (при отсутствии
затухания).
§ 2. Статистические характеристики коэффициентов отражения п
прохождения волны
Обратимся теперь к статистическому описанию характеристик волны.
Важной особенностью как уравнения (1.14), так н уравнений, вытекающих из
пего: (1.31), (1.34), (1.37), является то обстоятельство, что их решения
R (х) (или {и (х), ф (я)}) зависят лишь от предшествующих по х значений
случайной функции ё (х') при х' х, т. е. для этих решений выполняется
условие динами-
ческой причинности. В то же время решение уравнения (1.1) этим свойством
не обладает, так как граничные условия к нему ставятся на обоих концах
неоднородного слоя. Поэтому для уравнений
(1.31) и т. п. можно использовать приближение дельта-коррелированного
случайного процесса и исследовать, в каких случаях такая аппроксимация
оказывается справедливой. Этот вопрос мы исследуем несколько позже, а
сейчас будем считать, что ё (х) - гауссовская случайная фуикцпя с
корреляционной функцией
где I ~ радиус корреляции для ё (х) (I 0). Решение системы уравнений
(1.31) является марковским процессом, т. е. {и (х), Ф (х)} - -марковский
двумерный процесс, описываемый соответствующим УЭФ. Если интенсивность
флуктуаций ё (л) достаточно мала и у также мало, то переменная <р (х)
имеет структуру
где статистические характеристики функций и (.г), ф (х) медленно меняются
на расстояниях порядка длины волны 2л/и, в то время как в правой части
(1.31) имеются быстро меняющиеся функции. Поэтому по аналогии со случаем
параметрического резонанса, рассмотренным в предыдущей главе (см. также §
4 гл. 3), для определения медленных изменений статистических
характеристик можно усреднить УЭФ по периоду быстрых изменений.
(х) г (х')У - 2а'11 б (х - х!),
(2.1)
Ф (х) -= ф (0) + 2х,г + ф (,т),
(2.2)
199
Рассмотрим плотность вероятностей Рх (и) решения системы уравнений
(1.31)
Рх (и) = <6 (и (х) - ц)>. (2.3)
Дифференцируя (2.3) по а: и используя (1.31), получаем уравнение
дР" (и) д
:2уЖ(и*-1)Рх{и)-
дх
Y. _д_ I р I ди
Yи1 - 1 <е [х) sin ф б (и (х) - и)).
(2.4)
Для расщепления корреляции в (2.4) воспользуемся формулой
(2.6.4):
ЗР (и) я
= )Рх(и)-
X32i д
О -.г
Т*
1
COS ф fc) б (и (х) - и
Y бе(.г)
. V sin ф 6 (и (х) - и) fell?) ди X т v w бе (х)
Учитывая теперь равенства
Su (ж) йё (г) бф (х) бе (г)
]/ и1 - 1 sin ф (х),
I в|
у,
I ё I
1
• COS ф (ж)
(2.5)
(2.6)
Vи2 - 1
вытекающие непосредственно из уравнений (1.31), можно переписать (2.5) в
виде
дР" (и) л
д
ди
-' 20 лг/^ - 1 |4C0S(P
д
ди
1 +
COS ф
у и2 - 1
<sin2 ф /и2 - 1 б (и (ж) - и)>| •
б (и (ж) - и))
(2.7)
Как мы говорили выше, переменная ф (х) имеет структуру (2.2).
Поэтому, усредняя (2.7) по периоду быстрых осцилляций тригонометрических
функций, получаем замкнутое уравнение для Рх (и) [86, 87]:
дРх (U) : 2Т ±. (U2 - 1) Рх (и) + D JL (и2 - 1).-JL Рх (и), (2.8)
дх
где коэффициент диффузии D
2 | ё
^12- оЧ. Это уравнение соответ-
ствует уравнению (3.4.50) для данной задачи. Если теперь рассмотреть
двухточечную плотность вероятностей Р(их, х\ иу, у),
200
То ДЛЯ йеё получается уравнение типа (2.8) по переменной х ~^> у. Это
означает, что для вычисления медленных изменений многоточечных
статистических характеристик процесса и (х) можно рассматривать его как
марковский процесс, плотность вероятностей перехода которого также
удовлетворяет уравнению (2.8) с соответствующим начальным условием.
В общем случае уравнение (2.8) решить не удается. Имеется, однако,
