Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
и, так как уже В2 = 0, в уравнение для <?>, <у> войдет лишь
первый кумулянт процесса z (t). Аналогичным образом,
если мы
введем вектор
= (ft = 0, 1, . . ., в),
(1.13)
то из системы (1.1) для него получаем стохастическое уравнение
dAr. "
¦ kAfr-i - со0 (п - к) [1 -[- z (t)] А^у (/с = 0,1, . . ., п),
(1.14)
dt
что соответствует записи системы (1.11) с матрицей
Вц= - "о (и - i)fii, ;'-i- (1-15)
Очевидно, что для матрицы Ви (1.15) Bn+l = 0.
Итак, напишем уравнения для первых моментов решения системы (1.1),
считая, что Кг = 0, Кг~ 2о2. Для средних значений х (t) и у (t) получаем
систему уравнений
Л-(х(ф= <г/>, -A-/ty(t)y = - (i>l<xy, (1.16)
совпадающую с системой (1.1) в случае отсутствия флуктуаций. Пусть,
например, начальные условия для (1.1) имеют вид
х (0) = 0, у(0) = 1. (1.17)
Тогда решение системы (1.16) имеет вид
<x(t)y=-------smco0t, (у (t\y = cos"0i. (1Л8)
со0
Вторые моменты величин х (t), у (t) описываются системой уравнений
<ж2> = 2 <жг/>, < х'у > = <г/2> - ио <ж2>,
<'У2> =- 2со2 <.ту} + 2а2(Оо <**> (1.19)
178
с начальными условиями
<ж2> = <жг/> = 0, <г/2> = 1 при t = 0.
(1-20)
Система уравнений (1.19) при условиях (1.20) легко решается. Если при
этом считать, что в задаче имеется малый параметр, связанный с
интенсивностью флуктуаций z (t), сг2ш0 <^1, то ее решение, с точностью до
членов порядка ст2ш0, имеет вид
Таким образом, решение системы (1.19) содержит растущие со временем
члены, что соответствует статистической параметрической раскачке
динамической системы (1.1) за счет флуктуаций параметров. В случае слабых
флуктуаций инкремент нарастания, как видно из (1.21), равен
Отметим, что, как следует из выражения (1.21), решение статистической
задачи (1.1) имеет два характерных масштаба изменения
соответствует периоду колебаний системы (1.1) в случае отсутствия
флуктаций (т. е. при z = 0) (быстрые процессы),-а второй связан с
появлением медленных изменений статистических характеристик,
обусловленных наличием флуктуаций (медленные процессы). При этом t1/t2 =
о2и0 1. Можно построить приближенный метод, основанный на малости
параметра tx/t2, так называемый двухвременной метод, позволяющий получать
выражения типа (1.21) непосредственно, не прибегая к составлению и
решению системы уравнений типа (1.19) (см., например, [72, 73]).
Для получения медленных изменений статистических характеристик
процесса х (t) можно исключить быстрые движения, усредняя соответствующие
характеристики по времени, связанному с периодом быстрых движений (в
данном случае Т = 2л/ш0).
fj, = CT2Wj (ст2ш0 << 1).
времени: ~ 1/ш0 и t2 ~ 1/ct2coq. Первый
временной масштаб
179
Обозначая такое усреднение тильдой, имеем, например,
<*"(*)> = -VexP
Величина <(х2 (?)> при этом пе обязана удовлетворять начальным условиям
(1.20). Если включить в систему (1.1) линейное трение, т. е. рассмотреть
динамическую систему вида
-^- = у, -^-= - 2^!/ -(Doll -f z(t)]x, (1.22)
то соответствующая система уравнений для вторых моментов будет выглядеть
таким образом:
ОЬЗЗ)
<а:2> = 2 (ху), (ху) = <г/3> - 2у (ху} - <V2>,
<У2>=- 2о)о <жг/> 4- 2ст2Ио <^2>-
Будем искать решение, пропорциональное exp {Xi}, тогда соответствующее
характеристическое уравнение для Я примет вид
Is 4- 6у№(у} 4- 4 (gjj 4- 2у2)% 4- 4м5 (2у - ст2ы(r)) = 0. (1.24)
Как известно, необходимые и достаточные условия устойчивости, т. е.
отсутствие положительных вещественных частей у корней Ль- уравнения
(1.24),- это условия Рауса-Гурвица, которые для кубического уравнения
(1.24) эквивалентны неравенству
ст2 < 2у/<я1. (1-25)
Таким образом, при нарушении условия (1.25), т. е. при
2v<a2coo, (1.26)
имеет место параметрическое возбуждение системы (1.1).
Более полное исследование задачи показывает, что условия
параметрического возбуждения сисемы будут разными для разных моментов.
Так, например, условие возбуждения четвертых моментов "слабее", чем
(1.26), и имеет вид (см., например, [38])
р2 > _2^_ в>|+ Зу2_ (12?)
^ Зш2 а2-4-672 V '
Отметим, что уравнения (1.16) и (1.19) можно получить и не"
посредственно, путем усреднения соответствующих стохастиче" ских
уравнений (1.1) и (1.14), предполагая гауссовость и 6-кор" релированность
флуктуаций z (t) и используя формулы (2.6.5) и
(1.3). Так, усредняя (1.14), получаем
