Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение для плотности вероятностей решения уравнений в частных
производных. Так, для уравнения (1.6) получаем плотность вероятностей Pt<
x(q), усредняя (1.10) по ансамблю полей и и у, а для квазилинейного
уравнения (1.14) находим уравнение для плотности вероятностей Ptx(q,v),
усредняя (1.22) по ансамблю случайных функций F (t, q), G (t, q). Такое
усреднение, как мы знаем из результатов предыдущих глав, можно провести,
если случайные поля F (t, q), G (t, q) - дельта-коррелированные во
времени или представимы в виде z (t) о (t, q), где z (t) - процессы
телеграфного типа, a G, F-детерминированные функции. Рассмотрим,
например, уравнение (1.12), где будем считать и (t, х) случайным дельта-
коррелированным по t полем, описываемым функционалом (c)Дг1)(5с', т)].
Усредняя (1.12) по ансамблю поля и, получаем уравнение для плотности
вероятностей решения q (t, х):
яс^Ч) /, s д п , . . '• Г й 1 / \\ /о л \
ы =-?(*. Х)^4ри "(g) + [Т6и (tf j Я>(, х (<?)) • (2.1)
Учитывая, что
(2'2)
можно переписать уравнение (2.1) в замкнутой операторной форме:
{"If + 7 & х) -щq}Pt' * to) = [i в (••" - aO Pt, * (?)¦ (2-3)
Так, если и (t, х) - гауссовское поле, дельта-коррелированное по ?, т. е.
в(Из(ж\ т)] =
t
=-----5 dx 5 dxidxoBij (Хг, х2, т) (aci, т) (х2, т), (2.4)
то уравнение (2.3) превращается в УЭФ:
+ x)-§j q}pt<x{q) =
= ~ dXidXiBij (хь хг, t) б (ос- Хт) ^-Ъ{х - х2)-^ Pt, * (q), (2.5)
163
которое можно переписать в виде
Если случайное поле и (t, х) пространственно однородно и изотропно, то
уравнение (2.6) становится совсем простым УЭФ:
которое в случае отсутствия зависимости функции у (t, х) от х нетрудно
решить. Отметим, что уравнение (2.7) описывает диффузию примеси в
случайном поле скорости.
Аналогичным образом можно усреднить и уравнение для функции ф(1.16),
соответствующей решению квазилинейного уравнения (1.14). Пример такого
усреднения будет рассмотрен в следующем параграфе.
Выше мы рассматривали простейшие уравнения в частных производных.
Если же имеется нелинейное уравнение в частных производных, не
относящееся к рассмотренному типу (например, содержащее члены Ддили
д3д/дх3, как это имеет место для уравнений Бюргерса, Кортевега-де Вриза
или Навье-Стокса), то ничего подобного сделать не удается.
Теперь понятие плотности вероятностей не всегда имеет смысл, и
приходится рассматривать уравнение в вариационных производных для
характеристического функционала решения задачи, . которое в этом случае
играет роль стохастического уравнения Лиувилля и называется уравнением
Хопфа (см., например [29]). Усредняя последнее по ансамблю реализаций
стохастических параметров, получаем замкнутое уравнение в вариационных
производных. Полученное уравнение для характеристического функционала
представляет собой бесконечномерный аналог уравнений, соответствующих
обыкновенным дифференциальным уравнениям и квазилинейным уравнениям в
частных производных. Если же исходное уравнение само является линейным,
то несущественно, какие у него производные (первого или более высокого
порядка по пространственным переменным); важно лишь выполнение условия
причинности (т. е. уравнение должно быть первого порядка по времени и для
него должна ставиться задача Коши). Если условие причинности нарушается,
т. е. мы имеем не задачу Коши, а краевую задачу, то в этом случае надо
воспользоваться теорией инвариантного погружения, сводящей краевые задачи
к задачам Коши для вспомогательных уравнений.
Отметим, однако, что для одного класса дифференциальных уравнений, не
содержащих явной зависимости от ас, а именно:
dg d2q
(2.8)
ёх ' дх дх ' ' '
164
где s (t) - векторный случайный процесс, a F - детерминированная функция,
решение можно представить в виде
q (t, х)= Q {t, х- j* dxz (t)j
o
(2.9)
где функция Q (t, x) удовлетворяет детерминированному уравнению
Для таких задач различные статистические характеристики решения (2.8)
определяются непосредственно путем усреднения соответствующих выражений,
построенных по решению уравнения (2.10). Примеры таких уравнений
рассмотрены в [69]. При этом функция <д> будет удовлетворять замкнутому
уравнению, содержащему производные по х всех порядков. Рассмотрим в
качестве примера уравнение Бюргерса:
В силу равенства (2.9) для вариационной производной q (t, х) по z (т)
имеем
Пусть z (t) - гауссовский процесс с корреляционной функцией В (т).
Усредним (2.11) по ансамблю реализаций z(t). В результате получим
(2.10)
(2.11)
